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对于 ${\displaystyle x\in {\displaystyle [0,\frac{\pi }{2}]}}$, 求 ${\displaystyle f(x)=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}$ 的值域.

一方面，由于 ${\displaystyle \sin x,\cos x\in [0,1]}$, 故$$\begin{array}{r}\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\ge \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})\ge 1.\end{array}$$
另一方面，由幂平均值不等式$$\text{begin{align*} left(frac{sin x+cos x}{2}right)^2leq left( frac{sin^2 x+cos { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} x}{2} right)^{frac{1}{2}}=2^{-frac{1}{2}}Rightarrow f(x)leq 2^{frac{3}{4}}. end{align*}}$$
综上，${\displaystyle f(x)\in [1,2^{\frac{3}{4}}]}$, 取等条件由读者自己验证.