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若函数 ${\displaystyle f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1}$ 有唯一零点，则 ${\displaystyle a}$ 的取值范围为_____.

进行换元 ${\displaystyle t=ax}$, 则问题等价为: 方程$$\begin{array}{r}2\sqrt{{\left(\frac{t}{a}\right)}^2-t}=|t-2|-1\end{array}$$
关于${\displaystyle t}$有唯一解. 注意到${\displaystyle a}$的取值范围是关于${\displaystyle 0}$对称的，先不妨设${\displaystyle a\ge 0}$.

首先分析红色曲线的左支，此时方程等价于$$\begin{array}{r}2\sqrt{{\left(\frac{t}{a}\right)}^2-t}=t-1\Rightarrow {\left(\frac{2t}{a}\right)}^2=(t+1{)}^2\Rightarrow t_1=\frac{a}{2-a},t_2=-\frac{a}{2+a}.\end{array}$$
因此${\displaystyle t_2\le 0}$一定是一个零点，这意味着${\displaystyle t_1}$须是增根或重根(${\displaystyle t_1>0}$或${\displaystyle t_1=t_2}$), 以及右支没有交点. 从右支的单调性来看，至少要求${\displaystyle a^2>1\Rightarrow a>1}$, 这样${\displaystyle t_1\ne t_2}$, 因此只有${\displaystyle t_1>0\Rightarrow 1<a<2}$. 这样我们完成了左支的处理.

再看右支，由于 ${\displaystyle a<2}$, 且 ${\displaystyle {\displaystyle 2\sqrt{{\left(\frac{t}{a}\right)}^2-t}=O\left(\frac{2t}{a}\right)}}$, 故$$\begin{array}{r}\underset{t\to +\mathrm{\infty }}{lim}2\sqrt{{\left(\frac{t}{a}\right)}^2-t}-(t-3)\to +\mathrm{\infty },\end{array}$$
也即红线终究会超过黑线，因此只能有 ${\displaystyle a^2<3}$, 否则会产生第二个交点. 这样 ${\displaystyle 1<a<\sqrt{3}}$. 结合 ${\displaystyle a<0}$ 的镜像情形，有 ${\displaystyle a\in (-\sqrt{3},-1)\cup (1,\sqrt{3})}$.