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二次函数 ${\displaystyle f(x)=a{x}^2+bx+c,b>a,a,b,c\in \mathbb{R}}$. ${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}}$, 有 ${\displaystyle f(x)\ge 0}$. 求 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{b-a}{a+b+c}}}$ 的最大值.

不妨设 ${\displaystyle a=1}$. 由题意，${\displaystyle b^2\le 4c,b>a=1}$. 对于这类问题，规划是通用的方法. 作出可行域如图, 然后处理目标函数$$\begin{array}{r}\frac{b-1}{1+b+c}=\frac{1}{1+{\displaystyle \frac{c+2}{b-1}}},\end{array}$$
因此考察 ${\displaystyle (b,c)}$ 与 ${\displaystyle (1,-2)}$ 的连线的斜率即可. 取切线即可，此时斜率为 ${\displaystyle 2}$. 因此答案为 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}}}$.

既然只要求最值，且取等条件是 ${\displaystyle b^2=4c}$，因此可以很帅地写成$$\begin{array}{r}\frac{b-1}{1+b+c}\le \frac{b-1}{1+b+{\displaystyle \frac{b^2}{4}}}=\frac{4}{(b-1)+{\displaystyle \frac{9}{b-1}}+6}\le \frac{1}{3},\end{array}$$
等号成立当且仅当 ${\displaystyle (b,c)=(4,4)}$.