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已知方程 ${\displaystyle \ln x+x(1-m)=0(m\in \mathbb{R})}$ 有两个不同的零点, 分别记为 ${\displaystyle a,b}$, 且 ${\displaystyle a<b}$.

1. 求实数 ${\displaystyle m}$ 的取值范围;
2. 若不等式 ${\displaystyle t+1<\ln a+t\ln b}$ 关于 ${\displaystyle m}$ 恒成立, 求正数 ${\displaystyle t}$ 的取值范围.

1. 原方程等价于 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\ln x}{x}=m-1}}$. 熟知 ${\displaystyle f(x)={\displaystyle \frac{\ln x}{x}}}$ 在 ${\displaystyle (0,\mathrm{e})}$ 上单增, 在 ${\displaystyle (\mathrm{e},+\mathrm{\infty })}$ 上单减且值在 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{1}{\mathrm{e}})}}$ 上，因此 ${\displaystyle 0<m-1<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}}}$. 为了说明零点在 ${\displaystyle (\mathrm{e},+\mathrm{\infty })}$ 上的存在性, 只需令$$\begin{array}{r}\frac{\ln x}{x}=\frac{2\ln \sqrt{x}}{x}\le \frac{2(\sqrt{x}-1)}{x}<\frac{2}{\sqrt{x}}=m-1,\end{array}$$
   即可说明 ${\displaystyle f(x)=m-1}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (1,\frac{4}{(m-1{)}^2}),(1,\mathrm{e})}}$ 上各有一零点, 所以 ${\displaystyle m\in {\displaystyle (1,1+\frac{1}{\mathrm{e}})}}$.
2. 由题意 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{\ln a}{a}=\frac{\ln b}{b}}}$, 且 ${\displaystyle \ln a,\ln b>0}$, 因此取对数得 $$\begin{array}{r}\ln \ln a-\ln a=\ln \ln b-\ln b\Rightarrow \frac{\ln a-\ln b}{\ln \ln a-\ln \ln b}=1.\end{array}$$
   因此由对数均值不等式，$$\begin{array}{r}\frac{\ln a+\ln b}{2}>\frac{\ln a-\ln b}{\ln \ln a-\ln \ln b}=1.\end{array}$$
   这样 ${\displaystyle t\ge 1}$ 时, $$\begin{array}{r}t(\ln b-1)\ge \ln b-1>1-\ln a,\end{array}$$
   成立; 而根据对数均值不等式的事实: ${\displaystyle m\to {\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}}}$ 时 ${\displaystyle (\ln b-1)-(1-\ln a)\to 0}$, 因此 ${\displaystyle t\ge 1}$ 是必要的. 这样 ${\displaystyle t\ge 1}$.