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在锐角 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中，内角 ${\displaystyle A,B,C}$ 所对的边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$, 若 ${\displaystyle a^2=b^2+bc}$, 则 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{c}{b}+\frac{2}{{\cos }^{2}B}}}$ 的最小值为_____.

条件式是一个常见的 ${\displaystyle A=2B}$ 的结论. 依据正弦定理，这等价于$$\begin{array}{r}{\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B=\sin (A+B)\sin (A-B)=\sin B\sin C\Rightarrow \sin (A-B)=\sin B,\end{array}$$
因此 ${\displaystyle A-B=B}$ 或 ${\displaystyle A-B+B=\pi }$ (舍去), 从而 ${\displaystyle A=2B}$. 因此 $$\text{begin{align*} frac{c}{b}+frac{2}{cos^2 B}\&=frac{sin 3B}{sin B}+frac{2}{cos { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} B}=frac{3sin B-4sin^3 B}{sin B}+frac{2}{cos { <a class="tag" onclick="toggleTagSearch(this)" data-content="\#2">\#2</a>} B} \&=4cos^2 B+frac{2}{cos^2 B}-1geq 4sqrt{2}-1. end{align*}}$$