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若函数 ${\displaystyle f(x)=x^2+ax+b(a>1)}$ 的值域为 ${\displaystyle [0,+\mathrm{\infty })}$, 则 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{a+b+1}{a-1}}}$ 的最小值为_____.

条件意味着 ${\displaystyle a^2=4b}$. 代换 ${\displaystyle b}$ 后得$$\begin{array}{r}\frac{a+b+1}{a-1}=\frac{a+\frac{a^2}{4}+1}{a-1}=\frac{3}{2}+\frac{a-1}{4}+\frac{9}{4(a-1)}\ge 3.\end{array}$$
等号成立当且仅当${\displaystyle (a,b)=(4,4)}$.