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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中，${\displaystyle a,b,c}$ 分别是 ${\displaystyle A,B,C}$ 所对的边, ${\displaystyle b^2-a^2={\displaystyle \frac{1}{3}{c}^2}}$, 当 ${\displaystyle {\displaystyle \tan A+\frac{1}{\tan B}}}$ 取得最小值时, 角 ${\displaystyle C}$ 的大小为_____.

根据正弦定理，这等价于$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}{\sin }^{2}C={\sin }^{2}B-{\sin }^{2}A=\sin (B+A)\sin (B-A)\\ \Rightarrow & \frac{1}{3}\sin (B+A)=\sin (B-A)\Rightarrow \tan B=2\tan A.\end{array}$$
因此 $$\tan A+{\displaystyle \frac{1}{\tan B}=\tan A+\frac{1}{2\tan A}.}$$ 取得最小值意味着 ${\displaystyle \tan A={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}}$, ${\displaystyle \tan B=\sqrt{2}=\frac{1}{\tan A}=\tan (\frac{\pi }{2}-A)}$, 从而 ${\displaystyle C={\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$.