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无穷等比数列 ${a_{n}}$ 满足首项 $a_{1} > 0, q > 1$ , 记 $I_{n} = {x - y | x, y \in [a_{1}, a_{2}] \cup [a_{n}, a_{n + 1}]}$ , 若对任意正整数 $n$ 集合 $I_{n}$ 是闭区间，则 $q$ 的取值范围是_____.

解

显然 $0 \in I_{n}$ . 令 $I_{n}^{+} = I_{n} \cap [0, + \infty)$ , 则讨论 $x, y$ 落在 $[a_{1}, a_{2}], [a_{n}, a_{n + 1}]$ 上的个数，得到 $\begin{aligned} I_{n}^{+} & = [0, a_{2} - a_{1}] \cup [0, a_{n + 1} - a_{n}] \cup [a_{n} - a_{2}, a_{n + 1} - a_{1}] \\ = [0, a_{n + 1} - a_{n}] \cup [a_{n} - a_{2}, a_{n + 1} - a_{1}] . \end{aligned}$
要使 $I_{n}$ 为闭区间，即要 $I_{n}^{+}$ 为闭区间，也即 $\begin{array}{r} a_{n + 1} - a_{n} \geq a_{n} - a_{2} ⟺ q^{n - 2} (q - 2) + 1 \geq 0. \end{array}$
若 $q \geq 2$ , 该式显然成立；若 $1 < q < 2$ , 则显然不成立，因此答案是 $q \geq 2$ .