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证明: ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x-1}+x\ln x+{\mathrm{e}}^{y-1}+y\ln y\ge 2xy}$.

由于$$\begin{array}{r}{\mathrm{e}}^{x-1}+x\ln x=x{\mathrm{e}}^{x-1-\ln x}+x\ln x\ge x(x-\ln x)+x\ln x=x^2,\end{array}$$
(使用了 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^x\ge x+1}$ 进行放缩), 因此$$\begin{array}{r}\mathrm{LHS}\ge x^2+y^2\ge 2xy,\end{array}$$
等号成立当且仅当 ${\displaystyle x=y=1}$.