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已知三次函数 ${\displaystyle f(x)=2ax(x-b{)}^2}$ 的定义域和值域都为 ${\displaystyle [a,b]}$, 则 ${\displaystyle b=\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}\mathrm{\_}}$.

注意到 ${\displaystyle f(b)=0\in [a,b]}$, 因此 ${\displaystyle a<0<b}$ (等于的情形可以轻易排除). 又因为 ${\displaystyle f^{″}(x)=4a(3x-2b)}$, 所以 ${\displaystyle f^{″}(b)=4ab<0}$, 说明 ${\displaystyle x=b}$ 是极大值点. 由此可以画出函数图像如图所示.

从而 ${\displaystyle f(x_0)=a,}$ 其中 ${\displaystyle x_0}$ 是函数极小值点. 可以用均值不等式简化计算 $$\begin{array}{rl}f(x_0)& =a(2x_0)\cdot (b-x_0)\cdot (b-x_0)\\ & =a{\left(\frac{2x_0+b-x_0+b-x_0}{3}\right)}^3=\frac{8a{b}^3}{27}=a,\end{array}$$ 从而解得 ${\displaystyle b=\frac{3}{2}}$.