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随机将 1,2,⋯,2n(n∈N∗,n≥2) 这 2n 个连续正整数分成 A,B 两组, 每组 n 个数, A 组最大数为 a, B 组最大数为 b, 记 ξ=|a−b|. 当 n=3 时, ξ 的数学期望 E(ξ)=_____; 若对任意 n≥2, E(ξ)<c 恒成立, 则 c 的最小值为 _____.
这两组数中必有一组包含最大数 2n. 另一组的最大数的取值只能在 {n,n+1,⋯,2n−1} 中; 如果取值为 j, 则剩下 n−1 个数只能在 j−1 中选取, 有 Cj−1n−1 种可能. 而对于元素 2n 而言, 总的配对方法有 C2n−1n−1 种, 因此 E(ξ)=∑j=n2n−1(2n−j)Cj−1n−1C2n−1n−1=2nC2n−1n−1∑j=n2n−1Cj−1n−1−nC2n−1n−1∑j=n2n−1Cjn=2nC2n−1n−nC2nn+1C2n−1n−1=2nn+1. 对于第一问, 代入 n=3 得到 E(ξ)=32; 对于第二问, 显然 c=2.
这里用到了 nCjn=jCj−1n−1 和 ∑j=knCjk=Cn+1k+1.