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设 $m > n \geq 1$ , $2024^{m} \equiv 2024^{n} (\mod 10000)$ , 求 $m + n$ 的最小值.

解

根据整除最基本的性质逐步拆解即可: $\begin{aligned} 2024^{m} \equiv 2024^{n} (\mod 10000) ⟺ & 16 \times 625 | 2024^{n} (2024^{m - n} - 1) . \end{aligned}$ 这等价于 $16 | 2024^{n}, 25^{2} | 2024^{m - n} - 1.$ 对于前者, 只需 $n \geq 2$ . 对于后者, 因为 $2024 \equiv 149 (\mod 25^{2})$ , 所以等价于 $25^{2} | 149^{m - n} - 1 \Rightarrow 5 | 149^{m - n} - 1.$ 观察右侧表达式的个位数, 可以知道 $m - n$ 要是偶数才能满足这个条件, 设 $m - n = 2 k$ , 再结合 $149^{2} \equiv 326 (\mod 25^{2})$ , 这样继续推出 $\begin{aligned} 25^{2} | 326^{k} - 1 & = 325 \times (326^{k - 1} + \dots + 326 + 1) \\ \equiv 325 \times (\underset{k}{\underset{⏟}{1 + \dots + 1}}) = 325 k (\mod 25), \end{aligned}$ 所以 $k \geq 25$ , 所以 $m + n = 2 k + 2 n \geq 54$ .