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已知椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > \sqrt{2} b > 0)$ , 焦点是 $F_{1}, F_{2}$ . 设 $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点, $I$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内心, 直线 $I F_{1}, I F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ , 过 $I$ 分别作 $P F_{1}, P F_{2}$ 的垂线, 垂足分别为 $M, N$ . 若当点 $P$ 运动时, $\frac{S_{Δ I M N}}{S_{Δ P F_{1} F_{2}}}$ 的最大值为 $\frac{25}{294}$ , 则 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值为_____.

解

记 $∠ F_{1} P F_{2} = θ$ . $r = I M = I N$ 为 $Δ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径. 熟知以下结论:

$S_{Δ P F_{1} F_{2}} = c | y_{P} | = b^{2} \tan \frac{θ}{2} = (a + c) r$ .
$a > \sqrt{2} b$ 保证了椭圆足够"扁", 此时 $θ$ 在 $P$ 到达上/下顶点时取到最大.

再结合 $S_{Δ I M N} = \frac{1}{2} r^{2} \sin (π - θ) = \frac{1}{2} r^{2} \sin θ$ , 可得 $\begin{aligned} \frac{S_{Δ I M N}}{S_{Δ P F_{1} F_{2}}} & = \frac{\frac{1}{2} r^{2} \sin θ}{b^{2} \tan \frac{θ}{2}} = \frac{\sin θ}{2 b^{2} \tan \frac{θ}{2}} {(\frac{b^{2}}{a + c} \tan \frac{θ}{2})}^{2} \\ = \frac{b^{2}}{(a + c)^{2}} \sin^{2} \frac{θ}{2} \leq \frac{b^{2}}{(a + c)^{2}} {(\frac{c}{a})}^{2}, \end{aligned}$ 从而 $\frac{25}{294} = \frac{b^{2}}{(a + c)^{2}} {(\frac{c}{a})}^{2} = \frac{1 - e}{1 + e} \cdot e^{2} .$ 注意到 $\frac{25}{294} = \frac{1}{6} {(\frac{5}{7})}^{2}$ , 猜测 $e = \frac{5}{7}$ , 还真是呀! 所以最后要求 $k_{1} k_{2}$ 的值, 直接找一个特殊情况 $P (0, b)$ : $k_{1} k_{2} = - \frac{r |_{P (0, b)}^{2}}{c^{2}} = - \frac{1}{c^{2}} {(\frac{b^{2}}{a + c} \frac{c}{b})}^{2} = - \frac{1 - e}{1 + e} = - \frac{1}{6} .$