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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, 角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对边为 ${\displaystyle a,b,c}$, 且 ${\displaystyle \cos A=-\sin B}$. 求 ${\displaystyle \frac{b^2+c^2}{a^2}}$ 的最小值.

首先 ${\displaystyle \cos A<0}$, 所以 ${\displaystyle A>\frac{\pi }{2}}$, ${\displaystyle B<\frac{\pi }{2}}$. 然后 ${\displaystyle \cos A=-\sin B=\cos (B+\frac{\pi }{2})}$, 这里 ${\displaystyle A,B+\frac{\pi }{2}\in (\frac{\pi }{2},\pi )}$, 所以 ${\displaystyle A=B+\frac{\pi }{2}}$, 所以 ${\displaystyle C=\frac{3\pi }{2}-2A}$.
这样 $$\frac{b^2+c^2}{a^2}=\frac{{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C}{{\sin }^{2}A}=\frac{{\cos }^{2}A+{\cos }^{2}2A}{{\sin }^{2}A}.$$ 记 ${\displaystyle t={\sin }^{2}A}$, 则 $$\text{上式}=\frac{(1-t)+(1-2t{)}^2}{t}=4t+\frac{2}{t}-5\ge 4\sqrt{2}-5.$$