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当 ${\displaystyle x\in (0,+\mathrm{\infty })}$ 时, 不等式 ${\displaystyle x^x-x\ln x+m\le 0}$ 有解, 则 ${\displaystyle m}$ 的取值范围是_____.

注意到 $$x^x-x\ln x={\mathrm{e}}^{x\ln x}-(x\ln x)\ge (x\ln x+1)-(x\ln x)=1,$$ 这里用了不等式 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^x\ge x+1}$, 且可以在 ${\displaystyle x=1\Rightarrow x\ln x=0}$ 时取等. 所以只需要 ${\displaystyle m\le -1}$.