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在 $Δ A B C$ 中, $a, b, c$ 是角 $A, B, C$ 的对应边, 满足 $\frac{\cos A}{\sin B} + \frac{\cos B}{\sin A} = 2$ , $a + b + c = 12$ , 下列说法正确的是

A. $2 \sin C = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b^{2}} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a^{2}}$
B. $\tan A \cdot \tan B$ 的最小值为 $1$
C. 若 $b^{2} = a (a + c)$ , 则 $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{4}$
D. $Δ A B C$ 的面积最大值为 $36 (3 - 2 \sqrt{2})$

解

A 在第一个条件式左右同成 $\sin C$ , 有 $\begin{aligned} 2 \sin C & = \cos A \frac{\sin C}{\sin B} + \cos B \frac{\sin C}{\sin A} = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \frac{c}{b} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \frac{c}{a} \\ = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b^{2}} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a^{2}}, \end{aligned}$ 和选项并不一致. 事实上, 注意到 $A, B$ 应该保持对称, 就知道 A 错误.
B 直接由第一个条件式 $2 = \frac{\cos A}{\sin B} + \frac{\cos B}{\sin A} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{\tan A \tan B}} \Rightarrow \tan A \tan B \geq 1.$ 可以给出取等条件 $A = B = \frac{π}{4}$ , 所以 B 正确.
C 我们现在要进一步挖掘第一个条件式. 把它变为 $\begin{aligned} \sin A \cos A + \sin B \cos B = 2 \sin A \sin B > 0. \end{aligned}$ 左边变形为 $\frac{1}{2} (\sin 2 A + \sin 2 B) = \sin C \cos (A - B)$ , 所以 $\cos (A - B) > 0$ . 再把右边变形为 $\cos (A - B) - \cos (A + B) = \cos (A - B) + \cos C$ , 从而 $(\sin C - 1) \cos (A - B) = \cos C \leq 0,$ 所以 $C \geq \frac{π}{2}$ . 而 $C > \frac{π}{2}$ 时根据 B: $\tan C = - \tan (A + B) = - \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} > 0,$ 与 $\tan C < 0$ 矛盾, 所以 $C = \frac{π}{2}$ .
现在回到选项, 根据勾股定理 $b^{2} = c^{2} - a^{2} = a (a + c)$ , 所以 $c - a = a$ , 所以 $\sin A = \frac{a}{c} \sin C = \frac{1}{2}$ , 所以 $\sin B = \cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , 所以 $\sin A \sin B \sin C = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , C 正确.
D 因为 $C = \frac{π}{2}$ , 所以可以设 $a = \cos θ$ , $b = \sin θ$ , 这样第二个条件式等价于 $c (1 + \sin θ + \cos θ) = 12$ . 设 $t = \sin θ + \cos θ = \sqrt{2} \sin (θ + \frac{π}{4}) \in (1, \sqrt{2}]$ , 则 $\sin θ \cos θ = \frac{t^{2} - 1}{2}$ . 所以 $S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} c^{2} \sin θ \cos θ = \frac{1}{2} {(\frac{12}{1 + t})}^{2} \frac{t^{2} - 1}{2} = \frac{36 (t - 1)}{t + 1} \leq 36 (3 - 2 \sqrt{2}),$ 所以 D 正确.

综上, 答案是 BCD.