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费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点. 当三角形三个内角都小于 ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$ 时, 费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为 ${\displaystyle \frac{2\pi }{3}}$. 如图, 已知 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 和 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ADE}$ 都是正三角形, ${\displaystyle AB=4,AE=2}$, 且 ${\displaystyle B,A,D}$ 三点共线, 设点 ${\displaystyle P}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ACE}$ 内的任意一点, 则 ${\displaystyle PA+PC+PE}$ 的最小值为_____.

如图, 连接 ${\displaystyle BE,CD}$ 交于 ${\displaystyle P^{\prime }}$. 则 ${\displaystyle BA=AC}$, ${\displaystyle AE=AD}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }CAD=\frac{2\pi }{3}}$, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }BEA}$ 与 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }CDA}$ 全等, 从而 $$\mathrm{\angle }{P}^{\prime }BD+\mathrm{\angle }{P}^{\prime }DB=\mathrm{\angle }DCA+\mathrm{\angle }{P}^{\prime }DB=\mathrm{\angle }CAB=\frac{\pi }{3},$$ 所以 ${\displaystyle \mathrm{\angle }C{P}^{\prime }E=\mathrm{\angle }B{P}^{\prime }D=\frac{2\pi }{3}}$. 再由全等关系得 ${\displaystyle \mathrm{\angle }EBA=\mathrm{\angle }ACD}$, 所以 ${\displaystyle C,B,A,P^{\prime }}$ 四点共圆, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\angle }C{P}^{\prime }A=\pi -\mathrm{\angle }CBA=\frac{2\pi }{3}}$, 这样 ${\displaystyle P^{\prime }}$ 就是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }CAE}$ 的费马点.
现在在 ${\displaystyle P^{\prime }D}$ 上取 ${\displaystyle P^{″}}$, 使得 ${\displaystyle P^{\prime }{P}^{″}=A{P}^{\prime }}$. 由于 ${\displaystyle \mathrm{\angle }A{P}^{\prime }{P}^{″}=\frac{\pi }{3}}$, 所以 ${\displaystyle A{P}^{\prime }{P}^{″}}$ 是等边三角形, ${\displaystyle \mathrm{\angle }{P}^{\prime }A{P}^{″}=\frac{\pi }{3}}$. 这样容易证明 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }A{P}^{\prime }E}$ 与 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }A{P}^{″}D}$ 全等, 所以 $$\begin{array}{rl}& P^{\prime }A+P^{\prime }E+P^{\prime }C=P^{\prime }{P}^{″}+P^{″}D+P^{\prime }C=CD\\ =& \sqrt{C{A}^2+A{D}^2-2CA\cdot CD\cos \frac{2\pi }{3}}=2\sqrt{7}.\end{array}$$