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有两组线段, 每一组含长度分别为 ${\displaystyle 2,3,3,4,5,5}$ 的六条线段, 则下列说法正确的是

• A. 以这两组线段为棱, 构成的四棱柱侧面积最大值为 ${\displaystyle 60}$
• B. 以一组线段为棱, 不能构成四种不同体积的四面体
• C. 以这两组线段为棱, 构成的四棱柱体积最大值为 ${\displaystyle 30\sqrt{2}}$
• D. 以一组线段为棱, 构成的四面体体积最大值为 ${\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}}$

先看以两组线段为棱的 A, C 选项. 对于四棱柱, 四条侧棱需要一样长, 所以只有 ${\displaystyle 3,5}$ 可以作为侧棱.

• 如果以 ${\displaystyle 3}$ 为侧棱, 则底面的四条边长为 ${\displaystyle 2,4,5,5}$, 侧面积最大值为 ${\displaystyle 3\times (2+4+5+5)=48}$. 由婆罗摩笈多公式, 最大体积为 ${\displaystyle 3\times \sqrt{(8-2)(8-4)(8-5)(8-5)}=18\sqrt{6}}$.
• 如果以 ${\displaystyle 5}$ 为侧棱, 则底面的四条边长为 ${\displaystyle 2,3,3,4}$, 侧面积最大值为 ${\displaystyle 5\times (2+3+3+4)=60}$, 最大体积为 ${\displaystyle 5\times \sqrt{(6-2)(6-3)(6-3)(6-4)}=30\sqrt{2}}$.

这样侧面积最大值为 ${\displaystyle 60}$, 体积最大值为 ${\displaystyle 18\sqrt{6}}$, 所以 A 对 C 错.

再看以一组线段为棱的 B, D 选项. 除了 ${\displaystyle 2,3,5}$ 无法构成三角形外, 这六条线段可以组成各种三角形. 对于 ${\displaystyle 2}$, 可以构成的三角形有 ${\displaystyle (2,3,3)}$, ${\displaystyle (2,3,4)}$, ${\displaystyle (2,4,5)}$, ${\displaystyle (2,5,5)}$ 四种. 而在四面体中, ${\displaystyle 2}$ 一定是两个面的公共棱, 所以只有 ${\displaystyle \{(2,3,3),(2,5,5)\}}$, ${\displaystyle \{(2,3,3),(2,4,5)\}}$, ${\displaystyle \{(2,3,4),(2,5,5)\}}$ 三种情形, 所以 B 正确.

• 如果是 ${\displaystyle \{(2,3,3),(2,5,5)\}}$, 如图 1, 容易得到 ${\displaystyle DC\perp }$ 平面 ${\displaystyle ABC}$, 而 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中 ${\displaystyle AB}$ 边上的高为 ${\displaystyle CE=\sqrt{3^2-1}=2\sqrt{2}}$, 所以四面体体积为 $$V=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}AB\cdot CE)\cdot DC=\frac{8\sqrt{2}}{3}.$$
• 如果是 ${\displaystyle \{(2,3,3),(2,4,5)\}}$, 则底面不变, $$V=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}AB\cdot CE)h\le \frac{2\sqrt{2}}{3}min\{4,5\}\le \frac{8\sqrt{2}}{3}.$$
• 如果是 ${\displaystyle \{(2,3,4),(2,5,5)\}}$, 如图 2, 不妨设底面为 ${\displaystyle 2,5,5}$, 取 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }BDC}$ 边 ${\displaystyle BC}$ 的高 ${\displaystyle DF=\sqrt{3^2-{\left(\frac{5}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{11}}{2}}$, 则 $$V<\frac{1}{3}(\frac{1}{2}AB\cdot CE)DF=\frac{2\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{\sqrt{11}}{2}=\frac{\sqrt{66}}{3}<\frac{8\sqrt{2}}{3}.$$

所以体积最大值为 ${\displaystyle \frac{8\sqrt{2}}{3}}$, 所以 D 正确.

综上所述, 答案是 ABD.

四边形给定四条边长 ${\displaystyle a,b,c,d}$, 则它是圆内接四边形时面积最大. 记半周长为 ${\displaystyle s}$, 则最大面积为 $$\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}.$$