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如图, 已知圆锥 ${\displaystyle PO}$, 用平行于底面的截面, 将圆锥 ${\displaystyle PO}$ 分切成小圆锥 ${\displaystyle P{O}_i}$ 和圆台 ${\displaystyle O_{1}O}$, 此时圆锥 ${\displaystyle P{O}_1}$ 的顶点 ${\displaystyle P}$ 和圆 ${\displaystyle O_1}$ 上所有点均在球 ${\displaystyle O_2}$ 上, 圆台 ${\displaystyle O_{1}O}$ 存在和上下底面及侧面均相切的球 ${\displaystyle O_3}$. 若球 ${\displaystyle O_2}$ 和 ${\displaystyle O_3}$ 的半径均为 ${\displaystyle R}$, 则圆锥 ${\displaystyle P{O}_1}$ 和圆台 ${\displaystyle O_{1}O}$ 的高之比为_____.

我们画出截面图如图. 设 ${\displaystyle \mathrm{\angle }APO=\theta }$, 则因为 ${\displaystyle C{O}_2=O_{2}P=R}$, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\angle }C{O}_2{O}_1=2\theta }$, ${\displaystyle C{O}_1=R\sin 2\theta }$.
另一方面 ${\displaystyle \mathrm{\angle }C{O}_3{O}_1=\frac{1}{2}\mathrm{\angle }D{O}_3{O}_1=\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}}$, 所以 ${\displaystyle C{O}_1=\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2})}$. 这样 $$\sin 2\theta =\tan (\frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}).$$ 从而 $$\tan (\frac{\pi }{2}-\theta )=\frac{2\sin 2\theta }{1-{\sin }^{2}2\theta }=\frac{1}{\tan \theta },$$ 整理得 $$2(1-{\cos }^2\theta )=1-4(1-{\cos }^2\theta ){\cos }^2\theta ,$$ 解得 ${\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}}$. 这样 $$\frac{P{O}_1}{O_{1}O}=\frac{R(1+\cos 2\theta )}{2R}={\cos }^2\theta =\frac{\sqrt{3}}{2}.$$