1579

如图, 在一条无限长的轨道上, 一个质点在随机外力的作用下, 从位置 ${\displaystyle 0}$ 出发, 每次向左或向右移动一个单位, 且每次向左的概率为 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. 设移动 ${\displaystyle n}$ 次后质点位于位置 ${\displaystyle X_n}$.

1. 求 ${\displaystyle \mathbb{P}(X_4=-2)}$;
2. 求 ${\displaystyle \mathbb{E}(X_{30})}$;
3. 指出质点移动 ${\displaystyle n=3m+2}$ (${\displaystyle m\in \mathbb{N}}$) 次后, 最有可能位于哪个位置, 并说明理由.

1. 当 ${\displaystyle X_4=-2}$, 意味着质点向左移动了 ${\displaystyle 3}$ 次, 向右移动了一次, 因此 $$\mathbb{P}(X_4=-2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3\left(\frac{2}{3}\right)C_4^3=\frac{8}{81}.$$
2. 记随机变量 ${\displaystyle {\xi }_i}$ 表示第 ${\displaystyle i}$ 步的位置变化量. 如果向左, 则 ${\displaystyle {\xi }_i=-1}$, 否则 ${\displaystyle {\xi }_i=+1}$. 从而 $$\mathbb{E}(X_{30})=\mathbb{E}\left(\sum _{i=1}^{30}{\xi }_i\right)=\sum _{i=1}^{30}\mathbb{E}{\xi }_i=30\times (-\frac{1}{3}+\frac{2}{3})=10.$$
3. 设质点向左移动了 ${\displaystyle k}$ 次, 向右移动了 ${\displaystyle n-k}$ 次, 则质点的位置为 ${\displaystyle n-2k}$, 概率为 $$\mathbb{P}(X_n=n-2k)=C_n^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-k}=\frac{C_n^k}{3^n}{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.$$ 从而概率最大等价于 ${\displaystyle a_k=C_n^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k}$ 最大. 则 $$\{\begin{array}{rl}& a_k\ge a_{k-1},\\ & a_k\ge a_{k+1}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \frac{n!}{k!(n-k)!}\frac{1}{2}\ge \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!},\\ & \frac{n!}{k!(n-k)!}\ge \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\frac{1}{2},\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& k\le m+1,\\ & k\ge m,\end{array}$$ 所以 ${\displaystyle a_k}$ 在 ${\displaystyle k=m,m+1}$ 时取到最大值, 因此最有可能的位置是 ${\displaystyle n-k=3m+2-k}$ 为 ${\displaystyle m+2}$ 或 ${\displaystyle m}$.