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已知正四面体 ${\displaystyle ABCD}$ 的棱长为 ${\displaystyle 2\sqrt{2}}$, 动点 ${\displaystyle P}$ 满足 ${\displaystyle P{A}^2+P{B}^2=P{C}^2+P{D}^2}$. 用所有这样的点 ${\displaystyle P}$ 构成的平面截正四面体, 则所得截面的面积为_____.

题目说漏嘴了, 告诉我们这样的 ${\displaystyle P}$ 构成的是"平面". 容易验证 ${\displaystyle AC}$, ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle BD}$ 的中点 (分别记为 ${\displaystyle E,F,G,H}$) 都满足条件, 因此我们确定了截面是菱形 ${\displaystyle EFHG}$ 就是所得的截面. 根据对称性, ${\displaystyle GF=EH}$, 从而这还是个正方形, 边长为 ${\displaystyle \sqrt{2}}$, 所以截面面积为 ${\displaystyle 2}$.

我们下面证明一下为何 ${\displaystyle P}$ 为平面. 我们可以抽象出 ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle CD}$. 设在空间直角坐标系 ${\displaystyle O-xyz}$ 中, ${\displaystyle A(-m,0,n)}$, ${\displaystyle B(m,0,n)}$, ${\displaystyle C(0,m,-n)}$, ${\displaystyle D(0,-m,-n)}$ (这抽象出了 ${\displaystyle AB=CD}$, ${\displaystyle AB\perp CD}$ 和对称关系. 至于 ${\displaystyle m,n}$ 的关系，你会发现证明中用不到.)
设 ${\displaystyle P(x,y,z)}$, 则 $$\begin{array}{rl}& (x+m{)}^2+y^2+(z-n{)}^2+(x-m{)}^2+y^2+(z-n{)}^2\\ =& x^2+(y+m{)}^2+(z+n{)}^2+x^2+(y-m{)}^2+(z+n{)}^2,\end{array}$$ 整理得 ${\displaystyle z=0}$. 这样 ${\displaystyle P}$ 就在平面 ${\displaystyle xOy}$ 上了.