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已知等边 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的三个顶点都在平面 ${\displaystyle \alpha }$ 的同一侧, 且三条边在 ${\displaystyle \alpha }$ 上的射影长分别为 ${\displaystyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3}}$, 则平面 ${\displaystyle ABC}$ 与 ${\displaystyle \alpha }$ 所成二面角 (锐角) 的余弦值为_____.

设 ${\displaystyle A,B,C}$ 在 ${\displaystyle \alpha }$ 上的投影为 ${\displaystyle A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }}$, 我们熟知一个结论: 想求的二面角的余弦值就是 ${\displaystyle \frac{S_{\mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{S_{\mathrm{\Delta }ABC}}}$. 容易根据 ${\displaystyle 1,\sqrt{2},\sqrt{3}}$ 看出 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}$ 就是直角三角形, 面积为 ${\displaystyle \sqrt{2}}$. 下面求 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积.

不妨设 ${\displaystyle B}$ 就在 ${\displaystyle \alpha }$ 上, ${\displaystyle A,C}$ 到 ${\displaystyle \alpha }$ 的距离分别为 ${\displaystyle x,y}$, 且 ${\displaystyle x>y}$, 则由 ${\displaystyle AB=BC=CA}$, 有 $$x^2+1=(y-x{)}^2+2=y^2+3.$$ 先联立 1 和 3, 有 ${\displaystyle x^2=y^2+2}$. 再联立 2 和 3, 得 $$2xy=1+y^2\Rightarrow 4(y^2+2)y^2=y^4+2y^2+1,$$ 解得 ${\displaystyle y^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}$. 这样 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积为 ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}(y^2+3)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}}$. 从而所求余弦值为 $$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}+1}{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$$