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设随机变量 ${\displaystyle X}$ 的概率分布为 ${\displaystyle \mathbb{P}(X=k)=\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{3^k}}$ (${\displaystyle k=1,2,\cdots }$), 则对于正整数 ${\displaystyle m,n}$, 有

• A. ${\displaystyle \mathbb{P}(X>m+n|X>m)=\mathbb{P}(X>m)}$
• B. ${\displaystyle \mathbb{P}(X>m+n|X>m)=\mathbb{P}(X>n)}$
• C. ${\displaystyle \mathbb{P}(X>m+n|X>m)>\mathbb{P}(X>m)}$
• D. ${\displaystyle \mathbb{P}(X>m+n|X>m)>\mathbb{P}(X>n)}$

根据等比数列求和公式 $$\mathbb{P}(X\le k)=\frac{\frac{1}{4}{(1-\left(\frac{1}{2}\right))}^k}{1-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{1}{3}{(1-\left(\frac{1}{3}\right))}^k}{1-\frac{1}{3}}=1-\frac{1}{2}({\left(\frac{1}{2}\right)}^k+{\left(\frac{1}{3}\right)}^k),$$ 所以 ${\displaystyle \mathbb{P}(X>k)=\frac{1}{2}({\left(\frac{1}{2}\right)}^k+{\left(\frac{1}{3}\right)}^k)}$.
简记 ${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$, ${\displaystyle b=\frac{1}{3}}$, 且不妨设 ${\displaystyle m\ge n}$. 则 $$(a^m{b}^n+a^n{b}^m)-(a^m{b}^m+a^n{b}^n)=(a^m-a^n)(b^n-b^m)\le 0,$$
从而 $$\begin{array}{rl}& \mathbb{P}(X>m)\mathbb{P}(X>n)\\ =& \frac{1}{4}(a^{m+n}+b^{m+n}+a^m{b}^n+a^n{b}^m)\\ <& \frac{1}{2}(a^{m+n}+b^{m+n})=\mathbb{P}(X>m+n),\end{array}$$ 从而 ${\displaystyle \frac{\mathbb{P}(X>m+n)}{\mathbb{P}(X>m)}=\mathbb{P}(X>m+n|X>m)>\mathbb{P}(X>n)}$, D 正确 B 错误.
而 $${\mathbb{P}}^2(X>m)=\frac{1}{4}(a^{2m}+2a^m{b}^m+b^{2m})$$ 在 ${\displaystyle m=n}$ 时就是 ${\displaystyle \mathbb{P}(X>m+n)}$, 所以 C 错误, 且 A 也错误, 因为左边明显和 ${\displaystyle n}$ 有关, 右边却不带 ${\displaystyle n}$ 了.
综上, 答案是 D.