1591

已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a, b > 0$ ) 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ , 经过 $F_{1}$ 的直线交双曲线左右两支于 $A, B$ 两点, $Δ A B F_{2}$ 的内切圆的圆心为 $I$ . 若 $S_{Δ I B F_{2}} : S_{Δ I B A} : S_{Δ I A F_{2}} = 5 : 8 : 9$ , 求该双曲线的离心率.

解

因为 $I$ 是内心, 所以熟知 $S_{Δ I B F_{2}} : S_{Δ I B A} : S_{Δ I A F_{2}} = B F_{2} : B A : A F_{2} = 5 : 8 : 9.$ 记 $B F_{2} = 5 t$ , $A B = 8 t$ , $A F_{2} = 9 t$ . 则根据双曲线第一定义, $A F_{1} = A F_{2} - 2 a = 9 t - 2 a$ , 这样 $F_{1} B = B F_{2} + 2 a \Rightarrow (9 t - 2 a) + 8 t = 5 t + 2 a \Rightarrow a = 3 t .$ 这样 $A F_{1} = 3 t$ . 分别在 $Δ F_{1} A F_{2}$ , $Δ F_{1} B F_{2}$ 中对 $∠ A F_{1} F_{2}$ 用余弦定理, 得 $\frac{(3 t)^{2} + (2 c)^{2} - (9 t)^{2}}{2 (2 c) (3 t)} = \frac{(2 c)^{2} + (11 t)^{2} - (5 t)^{2}}{2 (11 t) (2 c)},$ 解得 $4 c^{2} = 135 t^{2} = 15 a^{2}$ , 从而 $e = \frac{\sqrt{15}}{2}$ .
Pasted image 20260130112938.png|250