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证明: $$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}<\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

左边看着像 ${\displaystyle \ln x}$ 的泰勒展开式. 我们来证明如下结论: 当 ${\displaystyle n}$ 为偶数时 $$f_n(x)=\ln x-\sum _{i=1}^n\frac{(x-1{)}^i(-1{)}^{i-1}}{i}>0.$$ 这是因为 $$f_n^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-\sum _{i=1}^n(1-x{)}^{i-1}=\frac{1}{x}-\frac{1-(1-x{)}^n}{x}>0,$$ 从而 ${\displaystyle f_n(x)>f_n(1)=0}$. 这样 $$\sum _{i=1}^{2026}\frac{(-1{)}^{i-1}}{i}=\ln 2-f_n(2)<\ln 2.$$ 借助对数均值不等式 ${\displaystyle \ln x<\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})}$, ${\displaystyle x>1}$, 有 $$\ln 2=2\ln \sqrt{2}<\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$