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曲线 ${\displaystyle C_1:y=x^3-x}$ 与 ${\displaystyle C_2}$ 关于点 ${\displaystyle (p,q)}$ 对称, 且 ${\displaystyle C_1}$ 与 ${\displaystyle C_2}$ 有且仅有一个公共点, 则 ${\displaystyle pq}$ 的最小值为_____.

如果 ${\displaystyle C_1,C_2}$ 有交点, 则交点也关于 ${\displaystyle (p,q)}$ 对称, 而现在只有一个交点, 因此只能是 ${\displaystyle (p,q)}$, 也即 ${\displaystyle q=p^3-p}$.
假设两个曲线有交点 ${\displaystyle (x_0,y_0)}$. 一方面该点在在 ${\displaystyle C_1}$ 上, 所以 $$y_0=x_0^3-x_0.$$ 另一方面该点在 ${\displaystyle C_2}$ 上, 所以通过 ${\displaystyle (p,q)}$ 对称后 ${\displaystyle (2p-x_0,2q-y_0)}$ 也在 ${\displaystyle C_1}$ 上, 也即 $$2q-y_0=(2p-x_0{)}^3-(2p-x_0).$$ 两式相加, 然后消去 ${\displaystyle q}$, 得到 ${\displaystyle p^3(p-x_0{)}^2=0}$. 但是 ${\displaystyle p\ne 0}$ (否则 ${\displaystyle C_1,C_2}$ 完全重合, 不合题意), 所以 ${\displaystyle p=x_0}$, 因此 ${\displaystyle (p,q)}$ 就是唯一交点, 不需要再增加额外的限制条件.
这样, $$pq=p^2(p^2-1)\ge -\frac{1}{4}.$$