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甲、乙两名同学都准备参加某知识竞答活动, 该竞答活动会逐一给出 ${\displaystyle n}$ 道不同的题目供参赛者回答, 每道题目的回答只有正确或错误两种情况, 各道题目回答情况不会相互影响.

1. 如果参赛者须回答 ${\displaystyle 5}$ 道问题，当连续答对 ${\displaystyle 4}$ 道时，即可赢得挑战. 若甲同学对于即将给出的各道题目，均有 ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ 的概率答对, 求甲赢得挑战的概率;
2. 若乙同学对于即将给出的各道题目, 均有 ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ 的概率答对. 记 ${\displaystyle P_n}$ 为乙同学回答 ${\displaystyle n}$ (${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$) 道题目后, 没有出现连续答对至少 ${\displaystyle 4}$ 道题目这一情形的概率.
   1. 求 ${\displaystyle P_4,P_6}$；
   2. 证明: ${\displaystyle P_{100}\le P_{99}}$.

1. 解 如果 ${\displaystyle 1\sim 4}$ 都答对, 概率为 ${\displaystyle {\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}}$.
   如果 ${\displaystyle 2\sim 5}$ 都答对, 则第 ${\displaystyle 1}$ 题需答错, 概率为 ${\displaystyle \frac{2}{3}\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{2}{243}}$.
   甲赢得挑战的总概率为 ${\displaystyle \frac{5}{243}}$.

2. 1. 解 容易知道 ${\displaystyle P_4=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{65}{81}}$.
      对 ${\displaystyle P_6}$:

      • 如果 ${\displaystyle 1\sim 4}$ 都答对, 概率是 ${\displaystyle {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{81}}$.
      • 如果 ${\displaystyle 2\sim 5}$ 都答对, 则第 ${\displaystyle 1}$ 题需答错, 概率为 ${\displaystyle \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{243}}$.
      • 如果 ${\displaystyle 3\sim 6}$ 都答对, 则第 ${\displaystyle 2}$ 题需答错, 概率为 ${\displaystyle \frac{1}{3}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^4=\frac{16}{243}}$.

      综上, 概率为 ${\displaystyle 1-\frac{16}{81}-\frac{16}{243}-\frac{16}{243}=\frac{163}{243}}$.

   2. 证明 记 ${\displaystyle Q_n=1-P_n}$ 为乙同学达成"至少连续答对 ${\displaystyle 4}$ 题"的概率, 则只要证明 ${\displaystyle Q_{100}\ge Q_{99}}$. 但这是显然的, 因为在 ${\displaystyle n=99}$ 中达成的事件, 在 ${\displaystyle n=100}$ 中可以以同样概率达到, 而且还会额外多出"答对 ${\displaystyle 97,98,99,100}$"这一事件, 所以显然 ${\displaystyle Q_{100}>Q_{99}}$.