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已知数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 满足: ${\displaystyle a_1=1}$, ${\displaystyle a_n+1<a_{n+1}<2(a_n+1)}$. 设 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的前 ${\displaystyle n}$ 项和为 ${\displaystyle S_n}$, 若 ${\displaystyle S_m=2026}$, 则正整数 ${\displaystyle m}$ 的所有可能取值的个数为_____.

如果每个 ${\displaystyle a_{n+1}}$ 都充分小 (充分接近 ${\displaystyle a_n+1}$), 则 $$a_{n+1}>a_n+1>a_{n-1}+2>\cdots >a_1+n=n+1.$$ 这样 $$S_m=\sum _{i=1}^m{a}_i>\sum _{i=1}^{m}i=\frac{m(m+1)}{2}.$$ 同理, 因为 ${\displaystyle a_{n+1}+2<2(a_n+2)}$, 所以 $$a_{n+1}+2<2^n(a_1+2)=3\cdot 2^n,$$ 所以 $$S_m=\sum _{i=1}^m{a}_i<\sum _{i=1}^m(3\cdot 2^{i-1}-2)=3(2^m-1)-2m.$$ 这样 $$\frac{m(m+1)}{2}<2026<3(2^m-1)-2m,$$ 左半边解得 ${\displaystyle m\le 63}$, 右半边解得 ${\displaystyle m\ge 10}$, 所以 ${\displaystyle m}$ 的取值有 ${\displaystyle 54}$ 个.