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学校举行校乒乓球比赛，共有 ${\displaystyle 2m}$ 人报名参加男子单打比赛, 参赛选手的编号记为 ${\displaystyle 1,2,\cdots ,2m}$, 并将所有选手分成 ${\displaystyle A,B}$ 两组, 每组各 ${\displaystyle m}$ 人，其中 ${\displaystyle m}$ 为不小于 ${\displaystyle 10}$ 的整数.

1. 若 ${\displaystyle m=10}$，求编号为 ${\displaystyle 10}$ 和 ${\displaystyle 20}$ 的选手都在 ${\displaystyle A}$ 组的概率;
2. 若编号为 ${\displaystyle m}$ 和 ${\displaystyle 2m}$ 的选手都在 ${\displaystyle A}$ 组, 证明: 在 ${\displaystyle B}$ 组选手中总能找出 ${\displaystyle 2}$ 人, 使得他们的编号之和等于 ${\displaystyle 2m}$;
3. ${\displaystyle A}$ 组选手与 ${\displaystyle B}$ 组选手一对一比赛后共有 ${\displaystyle m}$ 人晋级. 已知在晋级的选手中有不超过 ${\displaystyle 10\mathrm{\%}}$ 的选手退赛，证明: 在晋级且没有退赛的选手中总能找出 ${\displaystyle 4}$ 人，使得在这 ${\displaystyle 4}$ 人中有 ${\displaystyle 2}$ 人的编号之和等于另外 ${\displaystyle 2}$ 人的编号之和.

1. 解 总共分法有 ${\displaystyle C_{20}^{10}}$ 种, 而如果 ${\displaystyle 10,20}$ 两人都在 ${\displaystyle A}$ 组, 分法有 ${\displaystyle C_{18}^8}$, 因此概率为 ${\displaystyle \frac{C_{18}^8}{C_{20}^{10}}=\frac{9}{38}}$.
2. 证明 编号之和为 ${\displaystyle 2m}$ 的选手总共有 ${\displaystyle (1,2m-1)}$, ${\displaystyle (2,2m-2)}$, ${\displaystyle \cdots }$, ${\displaystyle (m-1,m+1)}$ 这几种情况, 共有 ${\displaystyle m-1}$ 组. 现在 ${\displaystyle A}$ 组除了 ${\displaystyle m,2m}$ 外还有 ${\displaystyle m-2}$ 个空位, 因此根据抽屉原理, 一定有一个完整的二人组在 ${\displaystyle B}$ 中, 因此得证.
3. 证明 问题等价于, 从 ${\displaystyle 1,\cdots ,2m}$ 中随机挑选 ${\displaystyle m}$ 人, 再去掉 ${\displaystyle k\le \lfloor \frac{m}{10}\rfloor }$ 人, 剩下的 ${\displaystyle n=m-k}$ 人中可以找出满足题目要求的 ${\displaystyle 4}$ 人. 首先看一下"${\displaystyle 2}$ 人编号之和"的所有可能, 应该是 ${\displaystyle 3,\cdots ,4m-1}$, 共 ${\displaystyle 4m-3}$ 种. 然后容易知道 ${\displaystyle m\le \frac{10}{9}n}$, ${\displaystyle n\ge 9}$.
   下面反证, 存在一种取法, 使得任意从这 ${\displaystyle k}$ 人中选出 ${\displaystyle 2+2}$ 人, 它们的编号都不相同. 这样, 在这 ${\displaystyle k}$ 人中"${\displaystyle 2}$ 人编号之和"共有 ${\displaystyle C_n^2+C_{n-2}^2=n^2-3n+3}$ 种, 它应该 ${\displaystyle \le 4m-3}$. 但是$$\begin{array}{rl}& (n^2-3n+3)-(4m-3)\ge n^2-3n-4\left(\frac{10}{9}n\right)+6\\ =& n(n-\frac{67}{9})+6>0,\end{array}$$ 就产生了矛盾! 因此原假设成立.