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已知函数 ${\displaystyle f(x)=|\sin x|+|\cos x|+a\sin x\cos x}$, 其中 ${\displaystyle a}$ 为实数.

1. 若 ${\displaystyle f(x)}$ 为偶函数, 求 ${\displaystyle a}$ 的值.
2. 当 ${\displaystyle a=1}$ 时, 求函数 ${\displaystyle f(x)}$ 的值域.
3. 已知 ${\displaystyle n}$ 为正整数, 若函数 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,n\pi )}$ 内恰有 ${\displaystyle 1111}$ 个零点, 求 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle n}$ 的值.

1. 由于 ${\displaystyle f(-x)=|\sin x|+|\cos x|-a\sin x\cos x=f(x)}$ 对任意 ${\displaystyle x}$ 成立, 所以 ${\displaystyle a\sin x\cos x=0}$, 所以 ${\displaystyle a=0}$.
2. 因为 $$(|\sin x|+|\cos x|{)}^2=1+|\sin 2x|\in [1,2],$$ 所以 ${\displaystyle |\sin x|+|\cos x|\in [1,\sqrt{2}]}$. 这样一方面 ${\displaystyle x+\frac{x^2}{4}}$ 在 ${\displaystyle [1,\sqrt{2}]}$ 上单增, 所以 $$f(x)\le |\sin x|+|\cos x|+\frac{(|\sin x|+|\cos x|{)}^2}{4}\le \sqrt{2}+\frac{1}{2},$$ 可以在 ${\displaystyle x=\frac{\pi }{4}}$ 时取等. 另一方面 ${\displaystyle x-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}}$ 在 ${\displaystyle [1,\sqrt{2}]}$ 上单减, 所以 $$\begin{array}{rl}f(x)& =|\sin x|+|\cos x|-\frac{(\sin x-\cos x{)}^2}{2}+\frac{1}{2}\\ & \ge |\sin x|+|\cos x|-\frac{(|\sin x|+|\cos x|{)}^2}{2}+\frac{1}{2}\\ & \ge \sqrt{2}-\frac{1}{2},\end{array}$$ 可以在 ${\displaystyle x=\frac{3\pi }{4}}$ 时取等.
   所以 ${\displaystyle f(x)}$ 的值域是 ${\displaystyle [\sqrt{2}-\frac{1}{2},\sqrt{2}+\frac{1}{2}]}$.
3. 注意到 ${\displaystyle f(x)=f(x+\pi )}$, 因此我们只考虑 ${\displaystyle (0,\pi )}$ 上的情况. 如果 ${\displaystyle f(x)}$ 有零点 ${\displaystyle \alpha \in (0,\frac{\pi }{4})}$, 取 ${\displaystyle \beta =\frac{\pi }{2}-\alpha \in (\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2})}$. 则 $$f(\beta )=|\cos \alpha |+|\sin \alpha |+\frac{a}{2}\sin (\pi -\alpha )=f(\alpha )=0.$$ 同理, 如果有零点 ${\displaystyle \alpha \in (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{4})}$, 则 ${\displaystyle \beta =\frac{3\pi }{2}-\alpha \in (\frac{3\pi }{4},\pi )}$ 也是零点。这意味着这些地方的零点都是成对出现, 总和一定是一个偶数. 但是 ${\displaystyle 1111}$ 是一个奇数, 所以零点只能由 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 或 ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ 来贡献, 分别解得 ${\displaystyle a=-2\sqrt{2}}$ 和 ${\displaystyle a=2\sqrt{2}}$.
   当 ${\displaystyle a=-2\sqrt{2}}$, 容易得到 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\pi )}$ 上只有一个零点, 因此 ${\displaystyle n=1111}$. 同理 ${\displaystyle a=2\sqrt{2}}$ 时也是如此.
   综上, ${\displaystyle n=1111}$, ${\displaystyle a=\pm 2\sqrt{2}}$.