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如图, 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, ${\displaystyle AB=3AC}$, ${\displaystyle AD}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\angle }A}$ 的角平分线, 且 ${\displaystyle AD=kAC}$.

1. 求实数 ${\displaystyle k}$ 的取值范围;
2. 若 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积为 ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, 则 ${\displaystyle k}$ 为何值时 ${\displaystyle BC}$ 最短, 并求出此时 ${\displaystyle BC}$ 的值.

1. 记 ${\displaystyle AC=b}$, 则 ${\displaystyle AB=3b}$, ${\displaystyle AD=kb}$. 设 ${\displaystyle \mathrm{\angle }CAD=\mathrm{\angle }BAD=\alpha }$, ${\displaystyle \alpha \in (0,\frac{\pi }{2})}$. 注意到面积关系 $$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=S_{\mathrm{\Delta }ACD}+S_{\mathrm{\Delta }ABD},$$ 即 $$\begin{array}{rl}& \frac{1}{2}b\cdot 3b\cdot \sin 2\alpha =\frac{1}{2}b\cdot kb\cdot \sin \alpha +\frac{1}{2}3b\cdot kb\cdot \sin \alpha \\ \Rightarrow & k=\frac{3}{2}\cos \alpha \in (0,\frac{3}{2}).\end{array}$$
2. 记 ${\displaystyle BC=a}$. 一方面根据面积条件 $$S_{\mathrm{\Delta }ABC}=\frac{1}{2}b\cdot 3b\sin A=\frac{3}{4}\Rightarrow \sin A=\frac{1}{2b^2},$$ 另一方面根据余弦定理 $$\cos A=\frac{b^2+(3b^2)-a^2}{2b(3b)}=\frac{5}{3}-\frac{a^2}{6b^2}.$$ 则消去 ${\displaystyle b^2}$ 有 $$\begin{array}{r}{a}^2=\frac{5-3\cos A}{\sin A}\ge \frac{(4\sin A+3\cos A)-3\cos A}{\sin A}=4,\end{array}$$ 从而 ${\displaystyle a_{min}=2}$. 取等条件为 $$\cos A=\frac{3}{5}=2{\cos }^2\alpha -1=2{\left(\frac{2}{3}k\right)}^2-1\Rightarrow k=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$