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解 条件等价于 ${\displaystyle x>0}$ 时, ${\displaystyle g(x)=(ax-1){\mathrm{e}}^x+1>0}$ 恒成立.

• 当 ${\displaystyle a\ge 1}$ 时, ${\displaystyle g(x)\ge (x-1){\mathrm{e}}^x+1\ge (x-1)(x+1)+1=x^2>0}$. 成立.
• 当 ${\displaystyle 0<a<1}$ 时, ${\displaystyle g^{\prime }(x)=(ax+a-1){\mathrm{e}}^x}$, 容易看出 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,\frac{1-a}{a})}$ 上单减, 所以 ${\displaystyle g\left(\frac{1-a}{a}\right)<g(0)=0}$, 不成立.
• 当 ${\displaystyle a\le 0}$ 时 ${\displaystyle f(x)\le 0}$, 不成立.

综上, ${\displaystyle a\ge 1}$.

证明

1. 首先需要证明 ${\displaystyle x_n>0}$. 这由 ${\displaystyle x_1>0}$, 和数学归纳法容易证明. (假设 ${\displaystyle x_n>0}$, 则由 1 得 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x_{n+1}}=f(x_n)>1}$, 从而 ${\displaystyle x_{n+1}>0}$). 然后注意到 $${\mathrm{e}}^{x_{n+1}}=f(x_n)=\frac{x_n{\mathrm{e}}^{x_n}}{{\mathrm{e}}^{x_n}-1}<\frac{x_n{\mathrm{e}}^{x_n}}{(x_n+1)-1}={\mathrm{e}}^{x_n},$$ 所以 ${\displaystyle x_{n+1}<x_n}$, 因此 ${\displaystyle \{x_n\}}$ 是递减数列.
2. 我们已经说明了 ${\displaystyle x_n>0}$, 所以不等式就变成 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x_n}<1+\frac{1}{2^{n-1}}}$. 记右边为 ${\displaystyle t_n}$. 我们依然用数学归纳法证明.
   首先对 ${\displaystyle n=1}$, 要证 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}<2}$, 也即 ${\displaystyle \mathrm{e}<4}$, 这是显然的.
   然后假设 ${\displaystyle x_n}$ 满足上述不等式, 也即 ${\displaystyle x_n<\ln t_n}$. 首先 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x({\mathrm{e}}^x-x-1)}{({\mathrm{e}}^x-1{)}^2}>0}$, 所以 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$ 上单调增. 这样 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{x_{n+1}}=f(x_n)<f(\ln t_n)}$. 我们只需要证明 $$f(\ln t_n)<1+\frac{1}{2^n}=\frac{t_n+1}{2},$$ 把左边展开后整理得 $$\ln t_n-\frac{t_n^2-1}{2t_n}<0.$$ (注意用到了 ${\displaystyle t_n>1}$.) 记左边函数为 ${\displaystyle h(x)}$, 则 ${\displaystyle h^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{(\frac{1}{x}-1)}^2\le 0}$, 所以 ${\displaystyle h(x)<h(1)=0}$. 证毕.