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已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} \in (\frac{1}{2}, 1)$ , $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n}^{2} - a_{n} + 1}$ , $n \in N^{*}$ , 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
给出下面四个结论:

$\forall n \in N^{*}$ , $a_{n + 1} > a_{n}$ ;
$\forall n \in N^{*}$ , $\frac{1}{a_{n + 2}} + \frac{1}{a_{n}} > \frac{2}{a_{n + 1}}$ ;
$\forall n \in N^{*}$ , $\frac{n}{n + 1} < a_{n} < 1$ ;
$\exists m \in N^{*}$ , 当 $n > m$ 时, 都有 $| S_{n} - n | < \frac{1}{2026}$ 成立.

其中所有正确结论的序号是_____.

解

做换元 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ^[1]. 则 $b_{1} \in (1, 2)$ , 且 $\begin{matrix} (1) & b_{n + 1} = b_{n} + \frac{1}{b_{n}} - 1. \end{matrix}$ 我们首先证明 $b_{n} > 1$ . 在 $n = 1$ 时已经成立了, 然后因为 $x + \frac{1}{x} - 1$ 在 $(1, + \infty)$ 上关于 $x$ 是增函数, 所以当我们假设 $b_{n} > 1$ 成立时 $b_{n + 1} > {(b_{n} + \frac{1}{b_{n}} - 1) |}_{b_{n} = 1} = 1$ . 这样结论得证.

也就是 $b_{n + 1} < b_{n}$ . 根据条件式 $b_{n + 1} - b_{n} = \frac{1}{b_{n}} - 1 < 0$ . 所以正确.
也就是 $b_{n + 2} - b_{n + 1} > b_{n + 1} - b_{n}$ . 由 (1) 得 $\begin{matrix} (2) & b_{n + 2} = b_{n + 1} + \frac{1}{b_{n + 1}} - 1. \end{matrix}$ 和 (1) 作差得^[2] $b_{n + 2} - b_{n + 1} = (b_{n + 1} - b_{n}) (1 - \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}) > b_{n + 1} - b_{n} .$
也就是 $1 < b_{n} < 1 + \frac{1}{n}$ . 左边已经证明了, 而右边再仿照前面用一次数学归纳法, 假设 $b_{n} < 1 + \frac{1}{n}$ , 则 $b_{n + 1} < (1 + \frac{1}{n}) + {(1 + \frac{1}{n})}^{- 1} - 1 = 1 + \frac{1}{n (n + 1)} < 1 + \frac{1}{n + 1} .$
直接取 $a_{1} = \frac{2}{3}$ , 则由 3 得 $a_{n} < 1$ , 有 $| S_{n} - n | = \sum_{i = 1}^{n} (1 - a_{i}) > 1 - a_{1} = \frac{1}{3} > \frac{1}{2026} .$ 所以显然是错误的.

综上, 正确答案是 123.

4 虽然有点"何意味", 但是我猜命题人希望我们证明级数 $n - S_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - a_{n})$ 是收敛的. 记 $1 - a_{n} = c_{n}$ , 则递推公式为 $c_{n + 1} = \frac{c_{n}^{2}}{1 - c_{n} + c_{n}^{2}}$ . 由 3, $lim_{n \to \infty} c_{n} = 0$ . 这样 $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}} = \frac{c_{n}}{1 - c_{n} + c_{n}^{2}} \to 0$ , 从而由比值判别法知 $\sum_{n = 1}^{\infty} c_{n}$ 收敛.
4 的表述应该修正成, $\exists A \in R$ , $\exists m \in N^{*}$ , $\forall n > m$ : $| n - S_{n} - A | < \frac{1}{2026}$ .

数学归纳法可以显然看出 $a_{n} > 0$ , 所以才可以进行换元 ↩︎
注意 1 已经得到 $b_{n + 1} - b_{n} < 0$ ↩︎