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在边长为 ${\displaystyle 1}$ 的正三角形 ${\displaystyle ABC}$ 中, ${\displaystyle P,Q}$ 分别在边 ${\displaystyle AB,AC}$ 上, 且 ${\displaystyle PQ=\frac{1}{2}}$. 求 ${\displaystyle \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}}$ 的取值范围.

记 ${\displaystyle BP=x,CQ=y}$, ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$. 这样在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }APQ}$ 中, 根据余弦定理, $$P{Q}^2=A{P}^2+A{Q}^2-2AP\cdot AQ\cdot \cos A,$$ 代入 ${\displaystyle AP=1-x}$, ${\displaystyle AQ=1-y}$, ${\displaystyle A=\frac{\pi }{3}}$ 后整理得 $$\begin{array}{}\text{(1)}& -\frac{1}{2}={(x+y-\frac{1}{2})}^2-3xy.\end{array}$$
下面注意一下几何关系. 在 (可以退化的) ${\displaystyle \mathrm{\Delta }APQ}$ 中, ${\displaystyle AP+AQ\ge PQ}$, 从而 ${\displaystyle x+y\le \frac{3}{2}}$. 因此由 (1) 得 $$-\frac{1}{2}\le 1-3xy\Rightarrow xy\le \frac{1}{2},\text{取等当且仅当}\{x,y\}=\{1,\frac{1}{2}\}.$$ 另一方面在 (可以退化的) 四边形 ${\displaystyle BPQC}$ 中, ${\displaystyle BP+PQ+QC\ge BC}$, 从而 ${\displaystyle x+y\ge \frac{1}{2}}$. 这样由 (1) 得 $$-\frac{1}{2}\ge {(2\sqrt{xy}-\frac{1}{2})}^2-3xy=(\sqrt{xy}-1{)}^2-\frac{3}{4},$$ 必要条件是 ${\displaystyle xy\ge \frac{1}{4}}$, 取等当且仅当 ${\displaystyle x=y=\frac{1}{2}}$.

综上, ${\displaystyle xy\in [\frac{1}{4},\frac{1}{2}]}$, 从而 ${\displaystyle \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=\frac{1}{2}xy\in [\frac{1}{8},\frac{1}{4}]}$.