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甲、乙两人用一副卡牌玩"抢宝藏"游戏, 卡牌包含若干对图案相同的普通牌和一张不能成对的宝藏牌, 在分配完卡牌, 双方丢弃手中所有已经成对的普通牌后, 恰好甲手中有 ${\displaystyle n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })}$ 张没有成对的普通牌, 乙手中有 ${\displaystyle n}$ 张没有成对的普通牌和 ${\displaystyle 1}$ 张宝藏牌, 现按以下规则游戏:

• 1. 甲乙轮流抽对方一张牌，甲先抽 (甲乙抽对方牌均计入抽牌次数);
• 2. 若抽取的牌是宝藏牌则将其保留在手中, 否则将手中与之成对的一张牌一并丢弃;
• 3. 直到有人手中没有牌时游戏结束, 手中只剩宝藏牌的玩家获胜;

1. 若 ${\displaystyle n=5}$, 经过三次抽牌后, 求宝藏牌在甲手中的概率;
2. 设游戏开始时甲手中有 ${\displaystyle n}$ 张牌，游戏结束时乙获胜的概率为 ${\displaystyle p_n}$, 由全概率公式得 ${\displaystyle p_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(1-p_1)}$, 即 ${\displaystyle p_1=\frac{2}{3}}$. 类似地, 求 ${\displaystyle p_3,p_5}$;
3. 记 ${\displaystyle X_n}$ 为这次游戏结束需要抽牌的次数, 期望为 ${\displaystyle \mathbb{E}(X_n)}$, 求证: $$\mathbb{E}(X_n)<n+\frac{1}{2}\ln \frac{n}{2}+\frac{5}{4}.(n\in \mathbb{N},n\ge 3)$$

1. 解 - 如果宝藏牌每次都发生了流转, 概率为 ${\displaystyle {\left(\frac{1}{6}\right)}^3}$;

   • 如果宝藏牌只在第一次流转, 概率为 ${\displaystyle \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot 1}$;
   • 如果宝藏牌只在第三次流转, 概率为 ${\displaystyle \frac{5}{6}\cdot 1\cdot \frac{1}{4}}$;

   因此, 概率是 ${\displaystyle \frac{1}{216}+\frac{5}{36}+\frac{5}{24}=\frac{19}{54}}$.

2. 解 先求 ${\displaystyle p_3}$. 如果第一回合甲抽中了宝藏牌, 则乙赢的概率就是甲输的概率 ${\displaystyle 1-p_3}$. 如果甲抽中了普通牌, 则拉扯一回合后转化为 ${\displaystyle n=1}$ 的情形, 从而 $$p_3=\frac{1}{4}(1-p_3)+\frac{3}{4}{p}_1\Rightarrow p_3=\frac{3}{5}.$$ 类似地, $$p_5=\frac{1}{6}(1-p_5)+\frac{5}{6}{p}_3\Rightarrow p_5=\frac{4}{7}.$$

3. 证明 我们要模仿 2 找到类似的递推关系. 如果第一回合甲抽中了宝藏牌, 则问题完全划归为一个新的 ${\displaystyle n}$ 情形问题, 此时总次数的期望变为 ${\displaystyle 1+\mathbb{E}{X}_n}$; 否则, 甲摸中了普通牌. 此时需要讨论, 如果 ${\displaystyle n=1}$, 游戏结束; 如果 ${\displaystyle n=2}$, 乙下一次必摸一张普通牌从而游戏结束; 如果 ${\displaystyle n\ge 3}$, 拉扯一回合后变为 ${\displaystyle n-2}$ 的情形, 期望为 ${\displaystyle 2+\mathbb{E}{X}_{n-2}}$. 综上, $$\{\begin{array}{rl}& \mathbb{E}{X}_n=\frac{1}{n+1}(\mathbb{E}{X}_n+1)+\frac{n}{n+1}(\mathbb{E}{X}_{n-2}+2),n\ge 3,\\ & \mathbb{E}{X}_1=\frac{1}{2}(\mathbb{E}{X}_1+1)+\frac{1}{2}\cdot 1,\\ & \mathbb{E}{X}_2=\frac{1}{3}(\mathbb{E}{X}_2+1)+\frac{2}{3}\cdot 2,\end{array}$$ 从而 $$\mathbb{E}{X}_n=\mathbb{E}{X}_{n-2}+2+\frac{1}{n},n\ge 3;{\mathbb{E}}_1=2,{\mathbb{E}}_2=\frac{5}{2}.$$ 看来我们要分奇偶讨论.

   • 当 ${\displaystyle n=2k}$, ${\displaystyle k\ge 2}$, 累加得 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{X}_{2k}& =\mathbb{E}{X}_2+\sum _{i=2}^k(2+\frac{1}{2i})=\frac{5}{2}+2(k-1)+\frac{1}{2}\sum _{i=2}^k\frac{1}{i}.\end{array}$$ 普通地注意到 ${\displaystyle \ln \frac{i}{i-1}>1-\frac{i-1}{i}=\frac{1}{i}}$, 所以 $$\mathbb{E}{X}_{2k}<2k+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum _{i=2}^k\ln \frac{i}{i-1}=n+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln \frac{n}{2}<n+\frac{5}{4}+\frac{1}{2}\ln \frac{n}{2}.$$
   • 当 ${\displaystyle n=2k-1}$, ${\displaystyle k\ge 3}$, 惊人地注意到 $$\frac{1}{2}\ln \frac{i+\frac{1}{2}}{i-\frac{1}{2}}>\frac{1}{2}(1-\frac{i-\frac{1}{2}}{i+\frac{1}{2}})=\frac{1}{2i+1},$$ 所以 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}{X}_{2k-1}& =\mathbb{E}{X}_1+\sum _{i=2}^k(2+\frac{1}{2i-1})=2k+\frac{1}{3}+\sum _{i=2}^{k-1}\frac{1}{2i+1}\\ & <2k+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\sum _{i=2}^{k-1}\ln \frac{i+\frac{1}{2}}{i-\frac{1}{2}}=n+\frac{4}{3}+\frac{1}{2}\ln \frac{n}{2}-\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2},\end{array}$$ 所以只要证明 ${\displaystyle \frac{4}{3}-\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}<\frac{5}{4}}$, 即 ${\displaystyle \frac{1}{6}<\ln \frac{3}{2}}$. 而 ${\displaystyle \ln \frac{3}{2}>1-\frac{2}{3}>\frac{1}{6}}$, 所以得证.
   • 当 ${\displaystyle n=3}$, 直接代入后, 就是上一情形最后的 ${\displaystyle \ln \frac{3}{2}>\frac{1}{6}}$.

   这样我们完成了 ${\displaystyle n\ge 3}$ 所有情况的证明.