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设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} \in R$ , 且 $a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3} = 1$ , 则代数式 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + a_{4}^{2} + a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4}$ 的最小值为_____.

解

这个形式可以让我们联想到柯西不等式. 根据恒等式 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) = (a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4})^{2} + (a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3})^{2},$ 有 $a_{1} a_{3} + a_{2} a_{4} = \pm \sqrt{t - 1}$ , 其中 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (a_{3}^{2} + a_{4}^{2}) = t \geq 1$ . 这样 $\begin{aligned} 原式 & \geq 2 \sqrt{t} - \sqrt{t - 1} \geq \sqrt{(t - (t - 1)) (4 - 1)} = \sqrt{3}, \end{aligned}$ ^[1]

另解

这个形式还可以让我们联想到向量. 设 $A (a_{1}, a_{2})$ , $B (a_{3}, a_{4})$ , 再设 $∠ A O B = α$ . 则 $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} | a_{1} a_{4} - a_{2} a_{3} | = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} O A \cdot O B \cdot \sin α .$ 这样 $\begin{aligned} 原式 & = O A^{2} + O B^{2} + \vec{O A} \cdot \vec{O B} \geq (2 + \cos α) O A \cdot O B \\ = \frac{2 + \cos α}{\sin α} \geq \frac{(\sqrt{3} \sin α - \cos α) + \cos α}{\sin α} = \sqrt{3} . \end{aligned}$

这里我使用了反向柯西不等式 $(a c - b d)^{2} \geq (a^{2} - b^{2}) (c^{2} - d^{2})$ , 当然也可以直接求导. ↩︎