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已知函数 ${\displaystyle f_n(x)={\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x+n}$, ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$.

1. 求方程 ${\displaystyle f_n(x)=1}$ 的解集;
2. 求函数 ${\displaystyle y=\frac{f_3(x)-2}{(f_1(x){)}^3},x\in [0,\frac{\pi }{2})}$ 的值域;
3. 若不等式 ${\displaystyle f_6(x)+a{f}_4(x)+2{\sin }^{3}x{\cos }^{3}x\ge 6}$ 恒成立, 求实数 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

1.

• 当 ${\displaystyle n=1}$ 时, 方程等价于 $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})=0,$$ 解集为 ${\displaystyle \{-\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}}$.
• 当 ${\displaystyle n=2}$ 时, ${\displaystyle f_2(x)=3>1}$, 无解.
• 当 ${\displaystyle n\ge 3}$ 时, ${\displaystyle f_n(x)\ge n-2\ge 1}$, 但是取等时要求 ${\displaystyle \sin x=\cos x=-1}$, 这无法满足, 所以也是无解.

2. 记 ${\displaystyle t=\sin x+\cos x\in [1,\sqrt{2}]}$, 则 ${\displaystyle \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}}$. 这样 ${\displaystyle f_1(x)=t+1}$, $$f_3(x)=(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)+3=t\left(\frac{3-t^2}{2}\right)+3,$$ 所以 $$y=\frac{t\left(\frac{3-t^2}{2}\right)+1}{(t+1{)}^3}=-\frac{(t+1{)}^2(t-2)}{2(t+1{)}^3}=-\frac{t-2}{2(t+1)}\in [\frac{3\sqrt{2}}{2}-2,\frac{1}{4}].$$
3. 记 ${\displaystyle u=\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]}$. 首先 $${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-2u^2.$$ 然后$$\begin{array}{rl}{f}_4(x)& =1-2u^2+4=5-2u^2,\\ f_6(x)& =({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)({\sin }^{4}x-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\cos }^{4}x)+6\\ & =1-2u^2-u^2+6=7-3u^2,\end{array}$$ 所以原不等式等价于 $$1-3u^2+2u^3+(5-2u^2)a\ge 0,\mathrm{\forall }u\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}].$$ 记左边函数为 ${\displaystyle g(u)}$, 则首先要求 ${\displaystyle g(-\frac{1}{2})\ge 0}$, 得 ${\displaystyle a\ge 0}$. 另一方面, ${\displaystyle a\ge 0}$ 时 $$g(u)\ge 1-3u^2+2u^3=(u-1{)}^2(2u+1)\ge 0,$$ 所以 ${\displaystyle a\ge 0}$ 是充分且必要的.
   综上, ${\displaystyle a\ge 0}$.