1633

实数 ${\displaystyle a,b}$ 满足 ${\displaystyle \frac{1}{a^3}{\mathrm{e}}^{a^2-b}+2a^2=6\ln a+2b+1}$, ${\displaystyle c\in \mathbb{R}}$, 则 ${\displaystyle \sqrt{(a-c{)}^2+(b+c{)}^2}}$ 的最小值是_____.

将条件式整理成 $$\frac{1}{a^3}{\mathrm{e}}^{a^2-b}+2(a^2-b)-2\cdot 3\ln a={\mathrm{e}}^{(a^2-b)-3\ln a}+2(a^2-b-3\ln a)=1.$$ 而 ${\displaystyle f(x)={\mathrm{e}}^x+2x}$ 在 ${\displaystyle \mathbb{R}}$ 上单增, 且 ${\displaystyle f(0)=1}$, 所以 ${\displaystyle a^2-b-3\ln a=0}$.
因此 $$\sqrt{(a-c{)}^2+(b+c{)}^2}\ge \frac{a+b}{\sqrt{2}}=\frac{a^2-3\ln a+a}{\sqrt{2}}.$$ 记 ${\displaystyle g(a)=a^2-3\ln a+a}$, ${\displaystyle g^{\prime }(a)=\frac{(2a+3)(a-1)}{a}}$, 则 ${\displaystyle g(a)\ge g(1)=2}$, 所以要求的最小值是 ${\displaystyle \frac{g(1)}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}}$.