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已知 ${\displaystyle m+n={\log }_4(4^m+4^n)}$, ${\displaystyle m+n+p={\log }_4(4^m+4^n+4^p)}$, 求 ${\displaystyle p}$ 的最大值.

由题意 $$4^m+4^n=4^{m+n}=4^m\cdot 4^n\le \frac{(4^m+4^n{)}^2}{4}\Rightarrow 4^m+4^n\ge 4.$$ (取等条件为 ${\displaystyle m=n=\frac{1}{2}}$). 进而 $$4^m+4^n+4^p=4^{m+n+p}=(4^m+4^n)4^p\Rightarrow 4^p=\frac{4^m+4^n}{4^m+4^n-1}\le \frac{4}{3},$$ 所以 ${\displaystyle p\le {\log }_4\frac{4}{3}=1-{\log }_{4}3}$.