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先后掷一个均匀的骰子 ${\displaystyle 3}$ 次, 得到的点数依次为 ${\displaystyle x,y,z}$, 记事件 ${\displaystyle A}$ 为"${\displaystyle |x-y|+|y-z|+|z-x|=6}$", 则 ${\displaystyle \mathbb{P}(A)=}$ _____.

因为事件 ${\displaystyle A}$ 的表达式关于 ${\displaystyle x,y,z}$ 全对称, 所以可以设 ${\displaystyle x\ge y\ge z}$, 这样 ${\displaystyle A}$ 等价于 ${\displaystyle x-z=3}$, 所以 ${\displaystyle (x,z)}$ 可以取 ${\displaystyle (1,4),(2,5),(3,6)}$. 对于每一种情况, ${\displaystyle y}$ 都有 ${\displaystyle 4}$ 种取法, 其中 ${\displaystyle 2}$ 种异于 ${\displaystyle x,z}$, ${\displaystyle 2}$ 种和 ${\displaystyle x,z}$ 中的一者相同.
所以 ${\displaystyle (x,y,z)}$ 有 ${\displaystyle 6}$ 种 "ABC" 型取法和 ${\displaystyle 6}$ 种 "AAB" 型取法. 综上, $$\mathbb{P}(A)=\frac{6\times 6+6\times 3}{6^3}=\frac{1}{4}.$$