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记椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ ) 的焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ , 点 $P$ 在直线 $y = x + a$ 上. 若 $∠ F_{1} P F_{2} = 45^{\circ}$ , 求 $C$ 的离心率的取值范围.

几何解法

$P$ 在 $A (- a, 0)$ 时 $∠ F_{1} P F_{2} = 0^{\circ}$ , 所以要让 $∠ F_{1} P F_{2} = 45^{\circ}$ , 只需要最大的角不小于 $45^{\circ}$ 即可. 考虑一个以 $F_{1} F_{2}$ 为弦的圆 $O^{'}$ , 它慢慢靠近 $y = x + a$ 直到相切, 设切点为 $P$ , 则此时 $∠ F_{1} P F_{2}$ 达到最大. 设为 $45^{\circ}$ .
其实容易看出 $P, O^{'}, F_{2}$ 共线. 这是因为, $∠ P A F_{1} = ∠ O^{'} F_{1} O = 45^{\circ}$ 可以推出 $P A / / O^{'} F_{1}$ . 这样 $∠ P O^{'} F_{1} = 180^{\circ} - ∠ A P O^{'} = 90^{\circ}$ , $∠ F_{1} O^{'} F_{2} = 90^{\circ}$ , 就推出 $∠ P O^{'} F_{2} = 180^{\circ}$ .
这样 $Δ P F_{1} F_{2}$ 是一个等腰直角三角形, $P F_{1} = F_{1} F_{2}$ , 也即 $a - c = 2 c$ , 所以 $e = \frac{1}{3}$ .
椭圆应该是越扁越好, 所以 $e \in [\frac{1}{3}, 1)$ .
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代数解法

设 $P (x, x + a)$ , $F_{1} (- c, 0)$ , $F_{2} (c, 0)$ . 要让 $∠ F_{1} P F_{2} = 45^{\circ}$ , 则 $x > - a$ .

当 $k_{P F_{1}} = \frac{x + a}{x + c}$ 和 $k_{P F_{2}} = \frac{x + a}{x - c}$ 都存在, 由倒角公式 $1 = \frac{k_{P F_{2}} - k_{P F_{1}}}{1 + k_{P F_{2}} k_{P F_{1}}} = \frac{(2 c) (x + a)}{2 (x + a)^{2} - 2 a (x + a) + (a^{2} - c^{2})} = \frac{2 c}{2 (x + a) + \frac{a^{2} - c^{2}}{x + a} - 2 a},$ 所以 $2 c = 2 (x + a) + \frac{a^{2} - c^{2}}{x + a} - 2 a \geq 2 \sqrt{2 (a^{2} - c^{2})} - 2 a,$ 解得 $e \in [\frac{1}{3}, 1)$ . 严格来说 $x \neq - c$ , 此时 $\frac{1}{3}$ 无法取到, 唔不过小题来说也差不多了.
当 $x = - c$ 且 $∠ F_{1} P F_{2} = 45^{\circ}$ , 则 $P, (- a, 0), F_{1}$ 构成等腰直角三角形, 所以 $Δ P F_{1} F_{2}$ 也是等腰直角三角形, $P F_{1} = F_{1} F_{2}$ , 也即 $a - c = 2 c$ , 所以 $e = \frac{1}{3}$ .
当 $x = c$ 且 $∠ F_{1} P F_{2} = 45^{\circ}$ , 这意味着 $F_{1}, (- a, 0)$ 应该重合, 也即对应 $e \to 1$ 的情形.

综上, $e \in [\frac{1}{3}, 1)$ .