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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, ${\displaystyle D,E}$ 在边 ${\displaystyle BC}$ 上, 其中 ${\displaystyle D}$ 在更靠近 ${\displaystyle B}$ 的一侧。 ${\displaystyle AD,AE}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\angle }BAC}$ 的三等分线. 若 ${\displaystyle DE:BD:CE=1:2:3}$, 则 ${\displaystyle \tan B\tan C=}$ _____.

设被三等分的三个角均为 ${\displaystyle \alpha }$. 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABE}$ 中, 根据角平分线定理, ${\displaystyle AE=\frac{1}{2}AB=\frac{c}{2}}$. 同理, ${\displaystyle AD=\frac{b}{3}}$.
在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABE}$ 中有等积关系 $$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\Delta }ABE}=S_{\mathrm{\Delta }ABD}+S_{\mathrm{\Delta }ADE}& ⟺\frac{1}{2}\left(\frac{c^2}{2}\right)\sin 2\alpha =\frac{1}{2}\frac{b}{3}(c+\frac{c}{2})\sin \alpha \\ & ⟺2c\cos \alpha =b.\end{array}$$ 同理在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ADC}$ 中有 $$b\cos \alpha =c.$$ 这解得 $$b=\sqrt{2}c,\alpha =\frac{\pi }{4}.$$ 后者推出 ${\displaystyle B+C=\pi -3\alpha =\frac{\pi }{4}}$, 所以再由前者: $$\sin B=\sqrt{2}\sin C=\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}-B)=\cos B-\sin B\Rightarrow \tan B=\frac{1}{2},$$ 所以 ${\displaystyle \tan C=\tan (\frac{\pi }{4}-B)=\frac{1-\tan B}{1+\tan B}=\frac{1}{3}}$, 所以 ${\displaystyle \tan B\tan C=\frac{1}{6}}$.