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设向量 ${\displaystyle \mathbf{a},\mathbf{b}}$ 满足 ${\displaystyle |\mathbf{a}+\mathbf{b}|+2|\mathbf{a}-\mathbf{b}|=15}$, ${\displaystyle |\mathbf{a}|=3}$, 则 ${\displaystyle |\mathbf{b}|}$ 的最大值是_____, 最小值是_____.

记 ${\displaystyle x=|\mathbf{a}+\mathbf{b}|}$, ${\displaystyle y=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|}$, 则 $$x+2y=15,x^2+y^2=2(|\mathbf{a}{|}^2+|\mathbf{b}{|}^2).$$ 从而 $$\begin{array}{}\text{(*)}& |\mathbf{b}{|}^2=\frac{1}{2}(x^2+y^2-18)=\frac{1}{2}(5y^2-60y+207).\end{array}$$ 下面求解 ${\displaystyle y}$ 的范围. 首先 ${\displaystyle 0\le y\le 15}$, 其次 ${\displaystyle x=15-2y\in [0,15]}$. 再次因为 $$|x-y|=||\mathbf{a}+\mathbf{b}|-|\mathbf{a}-\mathbf{b}||\le 2|\mathbf{a}|=6,$$ 所以 ${\displaystyle |15-3y|\le 6}$. 这样解得 ${\displaystyle y\in [3,7]}$. 代入 *, 得 ${\displaystyle b\in [\frac{3\sqrt{6}}{2},6]}$.