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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(x-a{)}^2(x-b{)}^3}$ 有极值点 ${\displaystyle x_0}$ 且 ${\displaystyle f(x_0)\ne 0}$, ${\displaystyle f(x_1)=f(x_0)}$ 且 ${\displaystyle x_1\ne x_0}$, 则

• A. ${\displaystyle \frac{|b-x_0|}{3}=\frac{|a-x_0|}{2}=|a-x_1|}$
• B. ${\displaystyle \frac{|b-x_0|}{3}=\frac{|a-x_0|}{2}>|a-x_1|}$
• C. ${\displaystyle \frac{|b-x_0|}{3}>\frac{|a-x_0|}{2}=|a-x_1|}$
• D. ${\displaystyle \frac{|b-x_0|}{3}>\frac{|a-x_0|}{2}>|a-x_1|}$

不妨设 ${\displaystyle b>a}$. 我们用穿根法画出如下图像:

首先 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=(x-a)(x-b{)}^2(5x-3a-2b)}$, 且 ${\displaystyle f(x_0)\ne 0\Rightarrow x_0\ne a}$ 且 ${\displaystyle x_0\ne b}$, 则 ${\displaystyle x_0=\frac{3a+2b}{5}}$, 所以 ${\displaystyle \frac{|b-x_0|}{3}=\frac{|a-x_0|}{2}}$.
如果 ${\displaystyle f(x)}$ 是三次函数, 那么 ${\displaystyle \frac{|a-x_0|}{2}=|a-x_1|}$, 但是现在 ${\displaystyle f(x)}$ 不是, 这个性质不能保留, 所以排除 A 选 B.
事实上, ${\displaystyle (x-b{)}^3}$ 这一项的存在会让 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (x_1,a)}$ 这一段的变化速度大幅大于 ${\displaystyle (a,x_0)}$ 段, 所以 ${\displaystyle |a-x_1|}$ 会变得更小一些.

反设 ${\displaystyle \frac{|a-x_0|}{2}\le |a-x_1|}$, 则 $$|b-x_1|=|b-x_0|+|a-x_0|+|a-x_1|\ge |b-x_0|+\frac{3}{2}|a-x_0|=2|b-x_0|,$$ 再由 ${\displaystyle f(x_1)=f(x_0)}$ 得 $${\left|\frac{a-x_1}{a-x_0}\right|}^2={\left|\frac{b-x_0}{b-x_1}\right|}^3\le \frac{1}{8},$$ 和原假设矛盾!