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已知函数 ${\displaystyle f(x)=\ln \frac{x}{x-2}+\frac{1}{3}}$, ${\displaystyle g(x)=\frac{3^x-1}{3^x+3}}$, 则 ${\displaystyle f(x)\le \frac{1}{3}}$ 得解集为_____; ${\displaystyle y=f(x)}$ 与 ${\displaystyle y=g(x)}$ 图象的交点横坐标之和为_____.

首先明确 ${\displaystyle f(x)}$ 的定义域是 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },0)\cup (2,+\mathrm{\infty })}$, ${\displaystyle g(x)}$ 的定义域是 ${\displaystyle \mathbb{R}}$.
因为 $$f(x)+f(2-x)=\ln \frac{x}{x-2}\cdot \frac{2-x}{-x}+\frac{2}{3}=\frac{2}{3},$$ 且 $$g(x)+g(2-x)=\frac{3^x-1}{3^x+3}+\frac{3^{2-x}-1}{3^{2-x}+3}=\frac{3^x-1}{3^x+3}+\frac{3^2-3^x}{3^2+3^{x+1}}=\frac{2}{3},$$ 所以 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 在各自的定义域内, 图像关于 ${\displaystyle (1,\frac{1}{3})}$ 对称.

第一空 当 ${\displaystyle x>2}$, ${\displaystyle \frac{x}{x-2}>1}$, 所以 ${\displaystyle f(x)>\frac{1}{3}}$; 根据对称性, ${\displaystyle x<0}$ 时 ${\displaystyle f(x)<\frac{1}{3}}$, 所以解集是 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },0)}$.
第二空 在 ${\displaystyle x>2}$ 时, ${\displaystyle f(x)}$ 单减, ${\displaystyle g(x)}$ 单增, 因此容易确定 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 只有一个交点; 根据对称性, 它们在 ${\displaystyle x<0}$ 时有另一个交点, 这两个交点横坐标之和为 ${\displaystyle 2}$.