1653

已知 ${\displaystyle O}$ 为坐标原点, 动圆 ${\displaystyle O_1}$ 过点 ${\displaystyle M(0,1)}$ 且与直线 ${\displaystyle y=-1}$ 相切.

1. 设圆 ${\displaystyle O_1}$ 的圆心 ${\displaystyle O_1}$ 的轨迹为曲线 ${\displaystyle C}$, 求曲线 ${\displaystyle C}$ 的方程;
2. 1. 过点 ${\displaystyle (0,2)}$ 作斜率为 ${\displaystyle k}$ 的直线 ${\displaystyle l}$ 与曲线 ${\displaystyle C}$ 交于 ${\displaystyle A,B}$ 两点, 过 ${\displaystyle A,B}$ 分别作曲线 ${\displaystyle C}$ 的两条切线 ${\displaystyle l_1,l_2}$, 记 ${\displaystyle l_1}$ 与 ${\displaystyle l_2}$ 的交点是 ${\displaystyle P}$. 若 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }PAB}$ 的面积为 ${\displaystyle 32}$, 求 ${\displaystyle k}$ 的值;
   2. 将 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }AOB}$ 绕 ${\displaystyle x}$ 轴旋转一周得到一个旋转体, 求该旋转体体积的最小值.

1. 因为 ${\displaystyle O_1}$ 到 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle y=-1}$ 的距离相等, 所以 ${\displaystyle O_1}$ 的轨迹就是以 ${\displaystyle M}$ 为焦点、${\displaystyle y=-1}$ 为准线的抛物线, ${\displaystyle C:x^2=4y}$.
2. 1. 设 ${\displaystyle P(x_0,y_0)}$, 则切点弦 ${\displaystyle AB}$ 的方程是 ${\displaystyle x{x}_0=2(y+y_0)}$. 与 ${\displaystyle C}$ 联立得 $$x^2-2x_{0}x-8=0.$$ 设 ${\displaystyle A(x_1,y_1)}$, ${\displaystyle B(x_2,y_2)}$, 则根据韦达定理 $$x_1+x_2=2x_0,x_1{x}_2=-8,|x_1-x_2|=2\sqrt{x_0^2+8},x_1^2+x_2^2=4x_0^2+16.$$ 再把 ${\displaystyle (0,2)}$ 代入 ${\displaystyle AB}$: ${\displaystyle y_0=-2}$. 因此 ${\displaystyle \overrightarrow{PA}=(x_1-x_0,y_1+2)}$, ${\displaystyle \overrightarrow{PB}=(x_2-x_0,y_2+2)}$, 所以 $$\begin{array}{rl}{S}_{\mathrm{\Delta }PAB}& =\frac{1}{2}|\overrightarrow{PA}\times \overrightarrow{PB}|=\frac{1}{2}|(x_0-x_2)(y_2+2)-(y_1+2)(x_2-x_0)|\\ & =\frac{1}{2}|x_0-x_2|\cdot |4+y_1+y_2|=\frac{|x_1-x_2|}{4}\cdot |4+\frac{x_1^2+x_2^2}{4}|\\ & =\frac{1}{2}(x_0^2+8{)}^{\frac{3}{2}}=32,\end{array}$$ 解得 ${\displaystyle x_0=\pm 2\sqrt{2}}$. 所以 ${\displaystyle k=\frac{x_0}{2}=\pm \sqrt{2}}$.
   2. 沿用 2.1 的设法. 设 ${\displaystyle l_{AB}:y=kx+2}$, 与 ${\displaystyle C}$ 联立, 消去 ${\displaystyle x}$ 得 $$y^2-4(k^2+1)y+4=0\Rightarrow y_1{y}_2=4.$$
      这个旋转体是由原台抠掉两个圆锥构成, 如右图. 所以体积为$$\begin{array}{rl}V& =\frac{1}{3}(\pi y_1^2+\pi y_2^2+\pi y_1{y}_2)|x_2-x_1|-\frac{1}{3}\pi y_1^2|x_1|-\frac{1}{3}\pi y_2^2|x_2|\\ & =\frac{\pi }{3}((y_1^2+y_2^2+4)2(\sqrt{y_2}+\sqrt{y_1})-2y_1^2\sqrt{y_1}-2y_2^2\sqrt{y_2})\\ & =\frac{\pi }{3}(2y_1^2\sqrt{y_2}+2y_2^2\sqrt{y_1}+8\sqrt{y_1}+8\sqrt{y_2})\\ & \ge \frac{\pi }{3}(2\sqrt{4y_1^{\frac{5}{2}}{y}_2^{\frac{5}{2}}}+2\sqrt{64\sqrt{y_1{y}_2}})=\frac{32}{3}\sqrt{2}\pi .\end{array}$$