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棱长为 ${\displaystyle a}$ 的正方体盒子中装有半径分别为 ${\displaystyle 1}$ 和 ${\displaystyle 2}$ 的两个铁球, 求 ${\displaystyle a}$ 的最小值.

我们假装在玩立体合成大西瓜游戏, 可以脑补出临界情形如图所示. 整个图形在 ${\displaystyle x,y,z}$ 三个方向完全对称, 所以 ${\displaystyle O{O}_1}$ (长度为 ${\displaystyle 3}$) 在 ${\displaystyle z}$ 轴方向的投影是 ${\displaystyle \sqrt{3}}$, 因此 ${\displaystyle a\ge 3+\sqrt{3}}$.