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已知抛物线 ${\displaystyle C:y^2=2px}$.

1. 若 ${\displaystyle p=3}$, 求过焦点 ${\displaystyle F}$ 且倾斜角为 ${\displaystyle {60}^{\circ }}$ 的直线被抛物线 ${\displaystyle C}$ 所截得的弦长.
2. 若 ${\displaystyle p=2}$,
   1. 是否存在抛物线上的三个点 ${\displaystyle M,N,Q}$, 使得 ${\displaystyle \mathrm{\angle }MQN}$ 的内角平分线为 ${\displaystyle x=4}$? 若存在, 求直线 ${\displaystyle MN}$ 的斜率; 若不存在, 请说明理由;
   2. 若抛物线上的三个点 ${\displaystyle M,N,Q}$ 构成等腰直角三角形, 求 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }MNQ}$ 面积的最小值.

1. 当 ${\displaystyle C:y^2=6x}$, 与题目所说的直线 ${\displaystyle l:y=\sqrt{3}(x-\frac{3}{2})}$ 联立, 可以解得 ${\displaystyle x_1=\frac{9}{2}}$, ${\displaystyle x_2=\frac{1}{2}}$, 所以要求的弦长是 ${\displaystyle \sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1}|x_1-x_2|=8}$.
2. 1. ${\displaystyle Q}$ 又在 ${\displaystyle x=4}$ 上又在抛物线上, 所以联立两条曲线, 解得 ${\displaystyle Q(4,\pm 4)}$. ${\displaystyle M,N,Q}$ 显然是存在的, 下面来看 ${\displaystyle MN}$ 的斜率. 首先设 ${\displaystyle Q(4,4)}$. 然后设 ${\displaystyle MN:\alpha (x-4)+\beta (y-4)=1}$ (它表示任何一条不过 ${\displaystyle (4,4)}$ 的直线). 下面改写抛物线方程为 $$(y-4+4{)}^2=4(x-4+4)\Rightarrow (y-4{)}^2+8(y-4)-4(x-4)=0,$$ 然后与 ${\displaystyle MN}$ 联立: $$(y-4{)}^2+[8(y-4)-4(x-4)][\alpha (x-4)+\beta (y-4)]=0.$$ 令 ${\displaystyle k=\frac{y-4}{x-4}}$, 则 $$(1+8\beta )k^2+(8\alpha -4\beta )k-4\alpha =0.$$ 因为 ${\displaystyle x=4}$ 是 ${\displaystyle \mathrm{\angle }MQN}$ 的内角平分线, 所以方程的两解 ${\displaystyle k_1,k_2}$ 满足 ${\displaystyle k_1+k_2=0}$. 另一方面根据韦达定理, ${\displaystyle k_1+k_2=\frac{4\beta -8\alpha }{1+8\beta }}$, 所以 ${\displaystyle \beta =2\alpha }$, ${\displaystyle k_{MN}=-\frac{\alpha }{\beta }=-\frac{1}{2}}$.
      同理, 当 ${\displaystyle Q(4,-4)}$, 相当于整个图形关于 ${\displaystyle x}$ 轴翻转了, 所以 ${\displaystyle k_{MN}=\frac{1}{2}}$.
      综上, ${\displaystyle k_{MN}=\pm \frac{1}{2}}$.
   2. 设 ${\displaystyle Q(4q^2,4q)}$, ${\displaystyle M(4m^2,4m)}$, ${\displaystyle N(4n^2,4n)}$, 如图, 有 $$\{\begin{array}{rl}& y_Q-y_M=x_N-x_M\\ & x_Q-x_M=y_M-y_N\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& q-m=n^2-m^2,(1)\\ & q^2-m^2=m-n.(2)\end{array}$$ 记 ${\displaystyle a=q-m}$, ${\displaystyle b=q+m}$. 由 (2) 得 ${\displaystyle n=m^2+m-q^2}$; 再将 (1), (2) 相除有 $$\frac{1}{q+m}=-(m+n)=-(2m+m^2-q^2)\Rightarrow \frac{1}{b}=-(b-a-ab),$$ 从而 ${\displaystyle a=\frac{b^2+1}{b(b+1)}}$. 这样 $$|QM|=4\sqrt{(q-m{)}^2[1+(q+m{)}^2]}=4\sqrt{a^2(1+b^2)}=4\sqrt{\frac{(b^2+1{)}^3}{b^2(b+1{)}^2}}.$$ 注意到 $$\frac{(b^2+1{)}^3}{b^2(b+1{)}^2}=\frac{(b^2+1{)}^2(b^2+1)}{b^2(b+1{)}^2}\ge \frac{(2b{)}^2\frac{1}{2}(b+1{)}^2}{b^2(b+1{)}^2}=2,$$ 取等条件为 ${\displaystyle b=1}$, 所以 ${\displaystyle |QM|\ge 4\sqrt{2}}$, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }MNQ}$ 的面积最小值为 ${\displaystyle \frac{1}{2}(4\sqrt{2}{)}^2=16}$.