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空间中有四个平行平面, 相邻两个平面的距离从上至下依次为 ${\displaystyle 1,2,3}$, 则在各平面上分别取一点构成的正四面体的体积为_____.

回到题目. 不妨设四个平面分别为 ${\displaystyle z=0}$, ${\displaystyle z=1}$, ${\displaystyle z=3}$, ${\displaystyle z=6}$, 然后 ${\displaystyle P_1\sim P_4}$ 分别在这四个平面上, ${\displaystyle z}$ 方向分量分别为 ${\displaystyle h_i}$. 记 ${\displaystyle {\mathbf{e}}_{ij}=\overrightarrow{P_i{P}_j}}$. 再记这四个平面的法向量为 ${\displaystyle \mathbf{n}=(0,0,1)}$. 则 ${\displaystyle {\mathbf{e}}_{ij}}$ 在 ${\displaystyle z}$ 方向的投影为 $$|h_i-h_j|=|{\mathbf{e}}_{ij}\cdot \mathbf{n}|.$$ 根据引理, $$S=\sum _{1\le i<j\le 4}|h_i-h_j{|}^2=2l^2=84,$$ 解得正四面体的边长 ${\displaystyle l=\sqrt{42}}$, 所以体积为 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}{l}^3=7\sqrt{21}}$.