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已知 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_8}$ 是 ${\displaystyle 8}$ 个正整数, 记 ${\displaystyle S=\{a_{i_1}+a_{i_2}+\cdots +a_{i_7}|1\le i_1<i_2<\cdots <i_7\le 8\}}$, 其中 ${\displaystyle i_1,i_2,\cdots ,i_7\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, 若 ${\displaystyle S=\{82,83,84,85,86,87,89\}}$, 则这 ${\displaystyle 8}$ 个正整数中的最大数与最小数的和为_____.

记 ${\displaystyle a_1+\cdots +a_8=A+90}$. 这样分别与 ${\displaystyle S}$ 中的各个元素作差, 我们就知道 $$\{a_1,\cdots ,a_8\}=\{A+8,A+7,A+6,A+5,A+4,A+3,A+1\}.$$ 看来其中有两者是相同的，记为 ${\displaystyle A+a}$ (它要属于上述集合). 这样 $$A+90=8A+34+a\Rightarrow A=8-\frac{a}{7},$$ 只有 ${\displaystyle a=7,A=7}$. 所以这 ${\displaystyle 8}$ 个正整数的最大值是 ${\displaystyle 15}$, 最小值是 ${\displaystyle 8}$, 答案是 ${\displaystyle 23}$.